成分から三角形の面積を出す

$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a} = (4, 2)$、$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b} = (1, 3)$ とする。$O$、$A$、$B$ は三角形の頂点なので、$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ は $\overrightarrow{0}$ でなく平行でない。よって $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ のなす角 $\theta$ は $0^\circ < \theta < 180^\circ$ である。

$\triangle OAB = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin\theta$ で、$\sin\theta > 0$ なので $\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$

内積の定義 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$ より、$\triangle OAB = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sqrt{1 - \cos^2\theta} = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{a}|^2|\overrightarrow{b}|^2 - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})^2}$ ……①

$|\overrightarrow{a}|^2 = 4^2 + 2^2 = 20$、$|\overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 3^2 = 10$、$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4 \times 1 + 2 \times 3 = 10$

①より $\triangle OAB = \frac{1}{2}\sqrt{20 \times 10 - 10^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = 5$

(確かめ)成分を $\overrightarrow{a} = (a_1, a_2)$、$\overrightarrow{b} = (b_1, b_2)$ とすると、①の根号の中は $(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2$ に等しいので、$\triangle OAB = \frac{1}{2}|a_1 b_2 - a_2 b_1| = \frac{1}{2}|4 \times 3 - 2 \times 1| = 5$ とも求められる。

答え $\triangle OAB = 5$