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成分からなす角を求める

成分からなす角を求める全3問
a=(3,1)b=(1,2)
① 考えてみよう

a=(3,1)a=(3,1)、b=(1,2)b=(1,2) のなす角 θ\theta を求めよう。角を分度器で測らなくても、成分だけから θ\theta が出せるんだ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    a=(3,1)a=(3,1)、b=(1,2)b=(1,2) のなす角 θ\theta を求めよう。角を分度器で測らなくても、成分だけから θ\theta が出せるんだ。

  3. 2

    成分 (3,1) と (1,2) だけで、なす角 θ\theta が出せるんだ。θ\theta は何度になると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    なす角は cos⁡θ=(a⋅b)÷(∣a∣∣b∣)\cos\theta = (a \cdot b) \div (|a||b|)。内積を、2つの大きさの積で割ればcosθ。材料を順にそろえよう。

  6. 4

    まず内積。成分どうしをかけて足すだけ。a⋅b=3⋅1+1⋅2=5a \cdot b = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5 だね。

  7. 5

    大きさは三平方で出る。∣a∣=32+12=10|a|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}、∣b∣=12+22=5|b|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}。積は 10⋅5=50=52\sqrt{10}\cdot\sqrt5=\sqrt{50}=5\sqrt2 だ。

  8. ③ 解答
  9. 6

    cos⁡θ=5÷52=1/2\cos\theta = 5 \div 5\sqrt{2} = 1/\sqrt{2}。これは θ=45∘\theta = 45^\circ のときの値だね。成分から角がわかった!

  10. 7

    成分さえあれば、内積と大きさからなす角まで出せる。図をかかずに計算で角度を出せるのが、成分表示の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

a→=(3,1)\overrightarrow{a} = (3, 1)、b→=(1,2)\overrightarrow{b} = (1, 2) はどちらも 0→\overrightarrow{0} でないので、なす角 θ\theta(0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ)が決まる。

内積の成分表示より a→⋅b→=3×1+1×2=5\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \times 1 + 1 \times 2 = 5

∣a→∣=32+12=10|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}、∣b→∣=12+22=5|\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}

内積の定義 a→⋅b→=∣a→∣∣b→∣cos⁡θ\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta より

cos⁡θ=a→⋅b→∣a→∣∣b→∣=510×5=552=12\cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|} = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ なので θ=45∘\theta = 45^\circ

答え θ=45∘\theta = 45^\circ

減点されやすいポイント

解説では矢印を省いて aa、bb と書いたけど、答案ではベクトルに矢印をつけよう。cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} から角を決めるときは「0∘≦θ≦180∘0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ なので」と範囲を書くのがポイントだよ。10×5\sqrt{10} \times \sqrt{5} をうっかり 1010 として cos⁡θ=12\cos\theta = \frac{1}{2} から 60∘60^\circ にしたり、12\frac{1}{\sqrt{2}} を cos⁡30∘\cos 30^\circ の値と取りちがえて 30∘30^\circ にしたりするのが定番のまちがいだね。

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