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接する2円・共通接線の長さ

📖 言葉で読む:接線の長さ(円外の点からの接線) →
接する2円・共通接線の長さ全8問
O₁O₂AB41?
① 考えてみよう

地面の上に、半径4と半径1の円がのっていて、たがいにくっついている(外接している)よ。2つの円が地面とふれる点、そのあいだの距離はいくつになると思う?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    地面の上に、半径4と半径1の円がのっていて、たがいにくっついている(外接している)よ。2つの円が地面とふれる点、そのあいだの距離はいくつになると思う?

  3. 2

    半径はどちらも地面と垂直(接点では90°)。2つの中心を結んだ線も手がかりになりそうだね。接点の間の距離はいくつだと思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    まず中心どうしの距離。2円は外接しているから、O1O2O_1O_2 = 半径の和 = 4+1=54+1=5 だよ。

  6. 4

    大きい円の中心から横に線をひいて、直角三角形を作ろう。斜辺は中心距離5、たての辺は半径の差 4−1=34-1=3。横の辺は、求めたい接点間の距離 AB と同じ長さになるよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    直角三角形で三平方。横の辺 =52−32=16=4= \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{16} = 4。だから接点間の距離 AB は4だよ。

    AB=52−32=16=4AB = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4
  9. 6

    見つけるコツ: 接する2円は「中心距離=半径の和(または差)」。半径は接点で直角になるから、横線をひけば三平方が使える直角三角形が現れるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

円 O1O_1、O2O_2 の半径はそれぞれ 44、11 である。AA、BB は地面との接点なので、O1A⊥ABO_1A \perp AB、O2B⊥ABO_2B \perp AB である。

2円は外接しているので、中心間の距離は半径の和に等しく O1O2=4+1=5O_1O_2 = 4 + 1 = 5

O1O_1 を通り ABAB に平行な直線と、直線 O2BO_2B との交点を HH とする。

∠O1AB=∠ABH=90∘\angle O_1AB = \angle ABH = 90^\circ、O1H∥ABO_1H \parallel AB より、四角形 O1ABHO_1ABH は長方形である。

よって O1H=ABO_1H = AB、HB=O1A=4HB = O_1A = 4、∠O1HO2=90∘\angle O_1HO_2 = 90^\circ

O2H=HB−O2B=4−1=3O_2H = HB - O_2B = 4 - 1 = 3

直角三角形 O1HO2O_1HO_2 で三平方の定理より O1H2=O1O22−O2H2=52−32=16O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2 = 5^2 - 3^2 = 16

O1H>0O_1H > 0 より O1H=4O_1H = 4。よって AB=O1H=4AB = O_1H = 4

答え AB=4AB = 4

減点されやすいポイント

補助線 O1HO_1H は図にない線なので、どこにひいた線かと、四角形 O1ABHO_1ABH が長方形であることを書いてから AB=O1HAB = O_1H を使おう。たての辺を半径の差 33 ではなく大きい円の半径 44 にすると 52−42=3\sqrt{5^2 - 4^2} = 3 になってしまうし、中心間の距離 55 をそのまま答えるのもまちがいだよ。

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