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三角関数の積を和に直す(積和の公式)

三角関数の積を和に直す(積和の公式)全3問
2 sin 3x cos x
① 考えてみよう

y=2sin⁡3xcos⁡xy = 2\sin 3x\cos x のグラフ(緑)だよ。サインとコサイン、2つの波の『かけ算』なんだ。ぐにゃぐにゃして、正直どんな形か読みにくいよね。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    y=2sin⁡3xcos⁡xy = 2\sin 3x\cos x のグラフ(緑)だよ。サインとコサイン、2つの波の『かけ算』なんだ。ぐにゃぐにゃして、正直どんな形か読みにくいよね。

  3. 2

    じつはこの『かけ算の波』、もっと素直な『2つの波の足し算』に書き直せるんだ。2sin⁡3xcos⁡x2\sin 3x\cos x は、どんな2つの波の和になると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    カギは積和の公式 2sin⁡Acos⁡B=sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)2\sin A\cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)。加法定理を2つ足すと出るよ。A=3xA=3x、B=xB=x なら和は 4x4x、差は 2x2x になるね。

  6. 4

    だから足し算の形は sin⁡4x+sin⁡2x\sin 4x + \sin 2x(赤)。重ねてみると…ほら、緑のかけ算の波にぴったり一致!同じ色がそろうみたいに、2本が完全に重なるよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    答えは 2sin⁡3xcos⁡x=sin⁡4x+sin⁡2x2\sin 3x\cos x = \sin 4x + \sin 2x。ぐにゃぐにゃの『積』が、周期のはっきりした2つの波の『和』に化けたね。

  9. 6

    積の形は扱いにくいけど、和なら各波の周期がすぐ読めるし、積分するのもぐっと楽になる。かけ算を足し算に直す。これが積和の公式の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

加法定理より sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B ……①

sin⁡(A−B)=sin⁡Acos⁡B−cos⁡Asin⁡B\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B ……②

①と②の辺々をたすと、積和の公式 2sin⁡Acos⁡B=sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B)2\sin A\cos B = \sin(A + B) + \sin(A - B) が得られる。

この公式で A=3xA = 3x、B=xB = x とすると、A+B=4xA + B = 4x、A−B=2xA - B = 2x なので、右辺は sin⁡4x+sin⁡2x\sin 4x + \sin 2x となる。

答え 2sin⁡3xcos⁡x=sin⁡4x+sin⁡2x2\sin 3x\cos x = \sin 4x + \sin 2x

減点されやすいポイント

積和の公式は、加法定理の2つの式をたして作れることを書いておくと、公式を忘れても立て直せるよ。①から②をひくと 2cos⁡Asin⁡B2\cos A\sin B の形になるので、sin⁡4x−sin⁡2x\sin 4x - \sin 2x は 2cos⁡3xsin⁡x2\cos 3x\sin x のことで別の式だね。x=π4x = \frac{\pi}{4} で確かめると、左辺は 2×22×22=12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1、sin⁡π−sin⁡π2=−1\sin \pi - \sin\frac{\pi}{2} = -1 で合わないよ。かけ算の2つをそのまま足して sin⁡3x+cos⁡x\sin 3x + \cos x とするのもまちがいだから、1つの xx を代入して両辺を比べる確かめもおすすめ。

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