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cosθから sinθ・tanθ を求める

📖 言葉で読む:三角比の相互関係 →
θ1
① 考えてみよう

θ\theta は鋭角で cos⁡θ=3/5\cos\theta = 3/5 とわかっている。sin⁡θ\sin\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めよう。図をかかなくても、相互関係で出せるよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    θ\theta は鋭角で cos⁡θ=3/5\cos\theta = 3/5 とわかっている。sin⁡θ\sin\theta と tan⁡θ\tan\theta を求めよう。図をかかなくても、相互関係で出せるよ。

  3. 2

    cos⁡\cos が1つ決まると、sin⁡\sin も自動で決まりそうだよね。2つをつなぐあの関係を使うと、sin⁡θ\sin\theta と tan⁡θ\tan\theta はいくつになると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    PP から xx 軸へ垂線を下ろすと、横 cos⁡θ=3/5\cos\theta = 3/5、斜辺 OP=1OP = 1 の直角三角形。たての sin⁡θ\sin\theta を求めたいね。

  6. 4

    相互関係 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 を使おう。sin⁡2θ=1−(3/5)2=1−9/25=16/25\sin^2\theta = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25 だね。

  7. ③ 解答
  8. 5

    θ は鋭角で sin は正だから、sin⁡θ=16/25=4/5\sin\theta = \sqrt{16/25} = 4/5。たての長さがそのまま出たよ。

  9. 6

    tan⁡θ\tan\theta は sin⁡θ÷cos⁡θ\sin\theta \div \cos\theta。tan⁡θ=(4/5)÷(3/5)=4/3\tan\theta = (4/5) \div (3/5) = 4/3。たて ÷\div よこ、と同じだね。

  10. 7

    1つの三角比から、相互関係で残り全部が決まる。符号は角の範囲(鋭角・鈍角)で決める。これが相互関係の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 に cos⁡θ=35\cos\theta = \frac{3}{5} を代入して

sin⁡2θ=1−(35)2=1−925=1625\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

θ\theta は鋭角なので sin⁡θ>0\sin\theta > 0。よって sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5}

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=45÷35=43\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{4}{5} \div \frac{3}{5} = \frac{4}{3}

答え sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5}、tan⁡θ=43\tan\theta = \frac{4}{3}

減点されやすいポイント

平方根をとる前の「θ\theta は鋭角なので sin⁡θ>0\sin\theta > 0」が採点で見られる一言。これがないと、−45-\frac{4}{5} を選ばなかった理由が伝わらないよ。1−35=251 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} と2乗し忘れたり、1625\frac{16}{25} のまま平方根をとり忘れたりするのが定番のまちがい。

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