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三角不等式を単位円で解く(sinθ ≥ 1/2)

三角不等式を単位円で解く(sinθ ≥ 1/2)全3問
OPθsinθ
① 考えてみよう

単位円を回る点 PθP_\theta の高さは sin⁡θ\sin\theta だったね。0∘≤θ<360∘0^\circ \le \theta < 360^\circ の中で「sin⁡θ≥12\sin\theta \ge \dfrac12」、つまり高さが 12\dfrac12 以上になるのは、θ\theta がどこからどこまでのときだと思う?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    単位円を回る点 PθP_\theta の高さは sin⁡θ\sin\theta だったね。0∘≤θ<360∘0^\circ \le \theta < 360^\circ の中で「sin⁡θ≥12\sin\theta \ge \dfrac12」、つまり高さが 12\dfrac12 以上になるのは、θ\theta がどこからどこまでのときだと思う?

  3. 2

    高さ(sin⁡θ\sin\theta)がちょうど 12\dfrac12 になる角を境目にすればよさそう。その角を思い出してみよう。

  4. ② 考え方
  5. 3

    高さがちょうど 12\dfrac12 になるのは、sin⁡30∘=12\sin 30^\circ=\dfrac12 と sin⁡150∘=12\sin 150^\circ=\dfrac12 の2か所。この2つが解の境目になるよ。

  6. 4

    高さが 12\dfrac12 以上 = PθP_\theta がしきい線より上にいる、ということ。PθP_\theta を上の方へ回すと、確かに線の上にいるね。30° から 150° までの上の弧ぶんが、答えの範囲だよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    だから 0∘≤θ<360∘0^\circ \le \theta < 360^\circ での答えは 30∘≤θ≤150∘30^\circ \le \theta \le 150^\circ。弧度法なら π6≤θ≤5π6\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{6} だね。等号は境界の30°・150°も含むよ。

  9. 6

    見つけるコツ: 三角不等式は「単位円の高さ(sin⁡\sin)・横(cos⁡\cos)」で読むこと。しきい値の線をひいて、点がその上(または下・右・左)にいる弧を探せば、解の範囲がそのまま見えるよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

0∘≦θ<360∘0^\circ \leqq \theta < 360^\circ で考える。

単位円周上で、xx 軸の正の向きから反時計回りに角 θ\theta だけ回った点を PP とすると、sin⁡θ\sin\theta は PP の yy 座標である。

よって sin⁡θ≧12\sin\theta \geqq \frac{1}{2} は、PP の yy 座標が 12\frac{1}{2} 以上であること、すなわち PP が直線 y=12y = \frac{1}{2} 上またはそれより上にあることと同じである。

直線 y=12y = \frac{1}{2} と単位円の交点は、sin⁡θ=12\sin\theta = \frac{1}{2} となる θ=30∘\theta = 30^\circ、150∘150^\circ の点である。

PP が直線 y=12y = \frac{1}{2} 上またはそれより上にあるのは、この2点を両端とする上側の弧の上にあるときで、30∘≦θ≦150∘30^\circ \leqq \theta \leqq 150^\circ である。

答え 30∘≦θ≦150∘30^\circ \leqq \theta \leqq 150^\circ

減点されやすいポイント

最初に θ\theta の範囲を書いて、「sin⁡θ\sin\theta は単位円周上の点の yy 座標」と読みかえてから境目を探そう。cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2} とまぜて 60∘≦θ≦120∘60^\circ \leqq \theta \leqq 120^\circ とすると、たとえば θ=40∘\theta = 40^\circ(sin⁡40∘\sin 40^\circ は 12\frac{1}{2} より大きい)が抜けてしまうよ。「θ≦30∘\theta \leqq 30^\circ または θ≧150∘\theta \geqq 150^\circ」は線より下の弧で、sin⁡θ≦12\sin\theta \leqq \frac{1}{2} の答えだね。境目の 30∘30^\circ と 150∘150^\circ は等号で入ることも忘れずに。

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