正四面体の高さ

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   1辺6の正四面体だよ。頂点Aから底面までまっすぐおろした「高さ」を求めてみよう。

3. 2

   立体のままだと高さは測りにくいね。高さをふくむ直角三角形を取り出すのがねらいだよ。答えはいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   頂点から底面の重心Gに垂線をおろすよ。正三角形の高さは三平方で $\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。重心はそれを2:1に分けるから、Gから頂点までは $2\sqrt{3}$ だね。

6. 4

   ここで直角三角形 A・G・(底面の頂点)を取り出そう。垂線は底面に垂直だから∠G=90°。斜辺は辺の6だね。

7. ③ 解答
8. 5

   取り出した平面で三平方。$h^2 = 6^2 − (2\sqrt{3})^2 = 36 − 12 = 24$。だから最初に求めたかった高さは $h = 2\sqrt{6}$ だ。

9. 6

   高さがわかれば体積も出せる。$V = \frac{1}{3}$ × 底面積 × 高さ。立体は「直角三角形を取り出して三平方」が合言葉だよ。