正四面体の高さ

正四面体を $ABCD$ とし、底面を $\triangle BCD$ とする。頂点 $A$ から底面におろした垂線の足を $G$ とし、$h = AG$ とする。

$AG$ は底面に垂直なので、$\angle AGB = \angle AGC = \angle AGD = 90^\circ$

直角三角形 $ABG$、$ACG$、$ADG$ で三平方の定理を使うと、$GB^2 = AB^2 - h^2$、$GC^2 = AC^2 - h^2$、$GD^2 = AD^2 - h^2$

$AB = AC = AD = 6$ なので $GB = GC = GD$ となり、$G$ は正三角形 $BCD$ の外心である。

正三角形では、頂点から対辺の中点へ引いた中線は対辺の垂直二等分線でもあるので、外心は重心と一致する。よって $G$ は $\triangle BCD$ の重心である。

辺 $CD$ の中点を $M$ とする。正三角形なので $BM \perp CD$、$CM = 3$ で、三平方の定理より $BM^2 = 6^2 - 3^2 = 27$、$BM > 0$ より $BM = 3\sqrt{3}$

重心は中線 $BM$ を $2 : 1$ に分けるので $BG = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

$\triangle ABG$ は $\angle AGB = 90^\circ$ の直角三角形なので、三平方の定理より

$h^2 = AB^2 - BG^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$

$h > 0$ より $h = 2\sqrt{6}$

答え $2\sqrt{6}$