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空間で余弦定理 ― 四面体の1面の面積

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空間で余弦定理 ― 四面体の1面の面積全3問
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① 考えてみよう

四面体の、手前の1つの面に注目するよ。3つの辺の長さが 3・5・7 とわかっているとき、この面(三角形)の面積を求めてみよう。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    四面体の、手前の1つの面に注目するよ。3つの辺の長さが 3・5・7 とわかっているとき、この面(三角形)の面積を求めてみよう。

  3. 2

    面積には「底辺と高さ」がいるね。でも辺の長さだけでは高さがわからない。まず角を1つ求めれば、高さは三角比で出せそうだよ。

  4. ② 考え方
  5. 3

    立体のままだと考えにくいので、その面だけ平面に取り出すよ。3辺 3・5・7 がそろった三角形だ。3辺がわかれば、余弦定理で角が求められるね。

  6. 4

    いちばん長い辺7の向かいの角 CC を余弦定理で。cos⁡C=32+52−722⋅3⋅5=−1530=−12\cos C = \dfrac{3^2+5^2-7^2}{2\cdot3\cdot5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac12。cos⁡\cos がマイナス=鈍角で、C=120∘C = 120^\circ だ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    角がわかれば高さが出る。底辺を3とすると、高さは「5の辺」を傾けたぶん 5sin⁡120∘5\sin 120^\circ(三角比の定義だね)。だから S=12×3×5sin⁡120∘=1534S = \dfrac12 \times 3 \times 5\sin 120^\circ = \dfrac{15\sqrt3}{4}。これがこの面の面積だよ。

  9. 6

    見つけるコツ: 空間の問題も「必要な三角形を取り出して平面で解く」。3辺→余弦定理で角→高さ(辺×sin⁡\sin)→面積、の順だよ。立体を怖がらず、1面ずつ平らにして攻めよう。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

3辺が 33、55、77 の面を △ABC\triangle ABC とし、AB=7AB = 7、BC=5BC = 5、CA=3CA = 3 とする。

余弦定理より cos⁡C=CA2+BC2−AB22⋅CA⋅BC=9+25−492⋅3⋅5=−12\cos C = \frac{CA^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot CA \cdot BC} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = -\frac{1}{2}

0∘<C<180∘0^\circ < C < 180^\circ なので C=120∘C = 120^\circ、sin⁡C=sin⁡120∘=32\sin C = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

CACA を底辺とすると、高さは BCsin⁡C=5sin⁡120∘=532BC \sin C = 5 \sin 120^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{2}

よって面積は 12×3×532=1534\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}

答え 1534\frac{15\sqrt{3}}{4}

減点されやすいポイント

空間の問題でも、使う三角形を1つ決めて頂点に名前をつければ、平面の問題と同じ形で書けるよ。sin⁡120∘\sin 120^\circ を掛け忘れて 152\frac{15}{2}、面積の公式の 12\frac{1}{2} を落として 1532\frac{15\sqrt{3}}{2} にするのが定番のまちがい。高さを「辺 ×sin⁡\times \sin」で出す1行を書いておくと、12\frac{1}{2} の落としも見つけやすいよ。

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