曲線の外の点から引ける接線の本数

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   3次曲線 $y = x^3 - 3x$ と、その外にある点 $P(1, -2.5)$。この $P$ から曲線に接する線(接線)を引くよ。さて、接線は何本引けると思う?

3. 2

   1本だけかな?それとも何本もある?接点をどこに取るかで接線の向きは変わるよね。$P$ を通る接線が何通りあるか、数える作戦を考えてみよう。

4. ② 考え方
5. 3

   作戦は「接点を文字でおく」。接点を $t$ とすると、傾きは微分で $f'(t)=3t^2-3$($x^3$ の微分は $3x^2$、$-3x$ は $-3$)。$t$ を動かすと接線も動くね。でも $P$ を通るとはかぎらない。

6. 4

   「接線が $P$ を通る」を式にするよ。接線は $y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$。ここに $P(1,-2.5)$ を入れて整理すると、$t$ の3次方程式 $4t^3-6t^2+1=0$ になるんだ。

7. 5

   この3次方程式を解くと $t = \frac12,\ \frac{1\pm\sqrt3}{2}$ の3つ。接点 $t$ が3つ見つかった=$P$ を通る接線が3本あるということだよ。

8. ③ 解答
9. 6

   実際に3本ひいてみると、どれも接点で曲線にそっと触れて、まっすぐ $P$ へ集まるね。答えは接線3本。

10. 7

    見つけるコツ: 接線の本数を聞かれたら「接点を $t$ とおく → 接線が点を通る条件を $t$ の方程式に → 実数解の個数=本数」。本数の問題が、方程式の解の個数の問題に早変わりするよ。