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曲線の外の点から引ける接線の本数

📖 言葉で読む:微分係数と導関数 →

曲線の外の点から引ける接線の本数全2問

接線の方程式を求める
曲線の外の点から引ける接線の本数

① 考えてみよう

3次曲線 $y = x^3 - 3x$ と、その外にある点 $P(1, -2.5)$ 。この $P$ から曲線に接する線(接線)を引くよ。さて、接線は何本引けると思う?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
3次曲線 $y = x^3 - 3x$ と、その外にある点 $P(1, -2.5)$ 。この $P$ から曲線に接する線(接線)を引くよ。さて、接線は何本引けると思う?
2
1本だけかな?それとも何本もある?接点をどこに取るかで接線の向きは変わるよね。 $P$ を通る接線が何通りあるか、数える作戦を考えてみよう。
② 考え方
3
作戦は「接点を文字でおく」。接点を $t$ とすると、傾きは微分で $f'(t)=3t^2-3$ ( $x^3$ の微分は $3x^2$ 、 $-3x$ は $-3$ )。 $t$ を動かすと接線も動くね。でも $P$ を通るとはかぎらない。
4
「接線が $P$ を通る」を式にするよ。接線は $y=(3t^2-3)(x-t)+t^3-3t$ 。ここに $P(1,-2.5)$ を入れて整理すると、 $t$ の3次方程式 $4t^3-6t^2+1=0$ になるんだ。
5
この3次方程式を解くと $t = \frac12,\ \frac{1\pm\sqrt3}{2}$ の3つ。接点 $t$ が3つ見つかった= $P$ を通る接線が3本あるということだよ。
③ 解答
6
実際に3本ひいてみると、どれも接点で曲線にそっと触れて、まっすぐ $P$ へ集まるね。答えは接線3本。
7
見つけるコツ: 接線の本数を聞かれたら「接点を $t$ とおく → 接線が点を通る条件を $t$ の方程式に → 実数解の個数=本数」。本数の問題が、方程式の解の個数の問題に早変わりするよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$f(x) = x^3 - 3x$ とおくと $f'(x) = 3x^2 - 3$

接点を $(t, t^3 - 3t)$ とおくと、接線の方程式は $y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)$ 、すなわち $y = (3t^2 - 3)(x - t) + t^3 - 3t$ ……①

①が点 $P(1, -2.5)$ を通る条件は $-2.5 = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t$

右辺を展開すると $-2t^3 + 3t^2 - 3$ なので $-2t^3 + 3t^2 - 3 = -2.5$ 、両辺を $-2$ 倍して整理すると $4t^3 - 6t^2 + 1 = 0$ ……②

3次関数のグラフでは、1本の直線が2点で接することはない(接線と曲線の式を連立した3次方程式は、重解を2組もてない)ので、接点が異なれば接線も異なる。よって、 $P$ を通る接線の本数は②の異なる実数解の個数に等しい。

②の左辺は $t = \frac{1}{2}$ で $0$ になるので、 $(2t - 1)(2t^2 - 2t - 1) = 0$ と因数分解できる。

$2t^2 - 2t - 1 = 0$ より $t = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$ なので、②の実数解は $t = \frac{1}{2}$ 、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ の異なる3個である。

答え 3本

減点されやすいポイント

接線の本数は「接点を $t$ とおく → 接線が $P$ を通る条件を $t$ の方程式にする → 異なる実数解の個数を数える」の3段で書こう。最後の「接点が違えば接線も違う」の一言があると、解の個数を本数と言いかえてよい理由になるよ。曲線の外の点から引ける接線は2本、という放物線のときの感覚のまま「2本」と答えるのは、3次関数ではまちがいだね。

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