川で水をくむ最短経路(対称点)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   川(直線ℓ)の同じ側に町 A と B。A を出て川で水をくみ、B へ向かうよ。川のどこでくめば、歩く道のりがいちばん短くなると思う?

3. 2

   くむ場所をあちこち試して比べるのは大変だね。$A$→(川)→$B$ の寄り道を、まっすぐな1本の道に直せたら楽そう。くむ点 $P$ はどこになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   コツは「B を川の向こう側へ折り返す」こと。B から川へ垂線を下ろし、足 F の反対側に同じ距離だけ進んだ点 B′ を作るよ。

6. 4

   川 ℓ は BB′ の垂直二等分線。だから ℓ 上のどの点も B と B′ から等距離だよね。くむ点を P とすると、いつも PB = PB′ になるんだ。

7. 5

   ということは、道のり A→P→B は A→P→B′ と同じ長さ。折れ線の長さが、B′ までの道のりに化けたよ。

8. ③ 解答
9. 6

   A から B′ へは、まっすぐ結んだときがいちばん短い。その直線が川と交わる点 P こそ、道のりが最短になるくむ場所だよ。

10. 7

    寄り道に見える最短経路も、対称点を1つ作るとまっすぐな1本に化ける。「ℓ上は2点から等距離=垂直二等分線」が効く、作図の使いどころだよ。