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川(直線ℓ)の同じ側に町 A と B。A を出て川で水をくみ、B へ向かうよ。川のどこでくめば、歩く道のりがいちばん短くなると思う?
アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。
川(直線ℓ)の同じ側に町 A と B。A を出て川で水をくみ、B へ向かうよ。川のどこでくめば、歩く道のりがいちばん短くなると思う?
くむ場所をあちこち試して比べるのは大変だね。→(川)→ の寄り道を、まっすぐな1本の道に直せたら楽そう。くむ点 はどこになると思う?
コツは「B を川の向こう側へ折り返す」こと。B から川へ垂線を下ろし、足 F の反対側に同じ距離だけ進んだ点 B′ を作るよ。
川 ℓ は BB′ の垂直二等分線。だから ℓ 上のどの点も B と B′ から等距離だよね。くむ点を P とすると、いつも PB = PB′ になるんだ。
ということは、道のり A→P→B は A→P→B′ と同じ長さ。折れ線の長さが、B′ までの道のりに化けたよ。
A から B′ へは、まっすぐ結んだときがいちばん短い。その直線が川と交わる点 P こそ、道のりが最短になるくむ場所だよ。
寄り道に見える最短経路も、対称点を1つ作るとまっすぐな1本に化ける。「ℓ上は2点から等距離=垂直二等分線」が効く、作図の使いどころだよ。
解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。
点 から直線 に垂線をひき、 との交点を とする。その垂線上で、 について と反対側に となる点 をとる。
は線分 の垂直二等分線なので、 上のどの点 についても ……①
と は について反対側にあるので、線分 は と交わる。その交点を とする。
上の点 で水をくむときの道のりは、①より である。
2点 、 を結ぶ線のうち最も短いのは線分 である。
のとき、 は線分 上にあるので となり、 から を通って へ行く道のりは線分 そのものになる。
が と異なるとき、 は直線 上にないので、 から を通って へ行く道のりは折れ線になり、
よって、道のり は のときに最も短く、その長さは である。
答え 直線 について と対称な点 をとり、線分 と の交点 でくむ
減点されやすいポイント
最短になる理由は「2点を結ぶ線のうち、いちばん短いのはまっすぐ結んだ線分」だよ。 で道のりを から までに置きかえたあと、この一言があると「 がいちばん短い」まで言い切れるんだ。 から川へ下ろした垂線の足や、 と の中点の真下を選ぶのは定番のまちがいなので、対称点を作る手順から書き始めよう。