曲線を回した体積を積分で出す

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   曲線 $y=\frac{\sqrt{x}}{2}$($0\le x\le4$)を $x$軸のまわりに1回転させると、こんな『おわん』の形ができるよ。この立体の体積を求めたいんだ。

3. 2

   母線が曲線だから、円錐みたいな公式がそのままは使えないね。うすい円板に切って足したら、体積はいくつに近づくと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   位置 $x$ でスパッと切ると、切り口は半径 $r=\frac{\sqrt{x}}{2}$ の円。その断面積は $S=\pi r^2=\pi(\frac{\sqrt{x}}{2})^2=\frac{\pi x}{4}$。じつは $x$ に比例する、まっすぐな線になるんだ。

6. 4

   厚さ $\Delta x$ のうすい円板1枚の体積は、断面積×厚さ $=S\times\Delta x$。これが短冊1本ぶん。まずは幅広の短冊で右端の高さを使ってざっくり積むよ。

7. 5

   いまは短冊が三角形(=本当の体積 $S$ の下の面積)からはみ出して、近似は大きめだね。円板を増やして薄くすると、このはみ出しが小さくなっていくよ。

8. 6

   16枚では約6.7。右端の高さで測っているぶんまだ少し大きめだけど、薄くするほど和は本当の体積 $2\pi\approx6.28$ へ近づいていく。これが $\int_0^4\frac{\pi x}{4}\,dx$ = 回転体の体積だよ。

9. ③ 解答
10. 7

    確かめよう。この立体をぴったり囲む円柱(底面の半径1・高さ4)は $\pi\cdot1^2\cdot4=4\pi$。回転体はそのちょうど半分の $2\pi$。短冊を限りなく細くした先が、この $2\pi$ なんだ。

11. 8

    母線が直線でも曲線でも、やることは同じ。切り口の面積 $S=\pi y^2$ を積み上げる($\int\pi y^2 dx$)だけ。断面積の積分で体積が出る、これがディスク法の使いどころだよ。