転がる円が通過する面積(帯+四隅のおうぎ形)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   半径1の円が、1辺6の正方形の外側をふちにそってぐるっと1周ころがるよ。円が通った部分(通過領域)の面積を求めたい。何になると思う?

3. 2

   いっぺんに求めるのは難しそう。円が通る場所を「まっすぐな辺ぞい」と「角を曲がるところ」に分けて考えると、見えてくるよ。面積はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず辺の上をころがるとき。円は辺から外へ、直径ぶん=幅2(=$2r$)の帯を通るね。帯1本は $6 \times 2=12$、4辺ぶんで48だよ。

6. 4

   角では、円は頂点を中心にくるっと向きを変える。このとき通るのは、半径2(=$2r$)の四分円=90°のおうぎ形だよ。

7. 5

   四隅のおうぎ形は90°が4つ。合わせるとちょうど円1個ぶん(半径2)になるね。だから角の合計=$\pi \times 2^2=4\pi$。

8. ③ 解答
9. 6

   ぜんぶ足すと $48 + 4\pi \approx 60.6$。「直線の帯+角のおうぎ形」に分け、角のおうぎ形は集めると円1個。これが転がる円の定石だよ。