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転がる円が通過する面積(帯+四隅のおうぎ形)

📖 言葉で読む:おうぎ形の弧の長さと面積 →

転がる円が通過する面積(帯+四隅のおうぎ形)全3問

弓形の面積(おうぎ形 − 三角形)
転がる円が通過する面積(帯+四隅のおうぎ形)
円錐の展開図の中心角・側面積

① 考えてみよう

半径1の円が、1辺6の正方形の外側をふちにそってぐるっと1周ころがるよ。円が通った部分(通過領域)の面積を求めたい。何になると思う?

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
半径1の円が、1辺6の正方形の外側をふちにそってぐるっと1周ころがるよ。円が通った部分(通過領域)の面積を求めたい。何になると思う?
2
いっぺんに求めるのは難しそう。円が通る場所を「まっすぐな辺ぞい」と「角を曲がるところ」に分けて考えると、見えてくるよ。面積はいくつになると思う?
② 考え方
3
まず辺の上をころがるとき。円は辺から外へ、直径ぶん=幅2(= $2r$ )の帯を通るね。帯1本は $6 \times 2=12$ 、4辺ぶんで48だよ。
4
角では、円は頂点を中心にくるっと向きを変える。このとき通るのは、半径2(= $2r$ )の四分円=90°のおうぎ形だよ。
5
四隅のおうぎ形は90°が4つ。合わせるとちょうど円1個ぶん(半径2)になるね。だから角の合計= $\pi \times 2^2=4\pi$ 。
③ 解答
6
ぜんぶ足すと $48 + 4\pi \approx 60.6$ 。「直線の帯+角のおうぎ形」に分け、角のおうぎ形は集めると円1個。これが転がる円の定石だよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

円が通過する部分を、正方形の辺にそった部分と、頂点のまわりの部分に分けて考える。

辺にそって転がるとき、円は辺の外側で、辺の長さ $6$ 、幅が直径 $2$ の長方形の部分を通る。4辺あるので、その面積の和は $6 \times 2 \times 4 = 48$ ……①

頂点のまわりでは、円は頂点に接したまま向きを変えるので、頂点を中心とする半径 $2$ (直径の長さ)、中心角 $90^\circ$ のおうぎ形の部分を通る。

4つのおうぎ形の中心角の和は $90^\circ \times 4 = 360^\circ$ なので、合わせると半径 $2$ の円1個分になり、その面積は $\pi \times 2^2 = 4\pi$ ……②

①と②の部分は重ならないので、求める面積は $48 + 4\pi$

答え $48 + 4\pi$

減点されやすいポイント

「辺ぞいの長方形」と「頂点のおうぎ形」に分けたことを、最初に一文で書いておくと答案が読みやすくなるよ。頂点のおうぎ形を忘れて $48$ にしたり、おうぎ形の半径を円の半径 $1$ のままにして $48 + \pi$ にしたりするのが定番のまちがい。おうぎ形の半径は直径の $2$ になることを確かめよう。

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