和の極限を定積分に読みかえる

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $\frac1n\left(\frac1n\right)^2+\frac1n\left(\frac2n\right)^2+\cdots+\frac1n\left(\frac nn\right)^2$、つまり $\sum_{k=1}^{n}\frac1n\left(\frac kn\right)^2$ を、$n$ を限りなく大きくした極限を求めたいんだ。

3. 2

   各項は $\frac1n$(はば)×$(\frac kn)^2$(何かの高さ)の形。これ、細い長方形の面積を足しているように見えない?和は何に近づくと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   図にすると本当に短冊の面積だよ。はば $\frac1n$ の短冊を $[0,1]$ に $n$ 本ならべ、$k$ 本目の高さを右端 $x=\frac kn$ での $y=x^2$ の値 $(\frac kn)^2$ にとる。各項 $\frac1n(\frac kn)^2$ が1本の面積だね。

6. 4

   いまは短冊が曲線からはみ出して、和は面積より少し大きめ。$n$ を増やして短冊を細くすると、はみ出しが減って曲線の下にぴったり近づくよ。

7. 5

   もっと細かく。短冊の和は「曲線 $y=x^2$ と $x$軸が $[0,1]$ で囲む面積」に吸い寄せられていく。これがまさに定積分 $\int_0^1 x^2\,dx$ の意味なんだ。

8. ③ 解答
9. 6

   値も確かめよう。和は $\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+\cdots+n^2)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ で、$n\to\infty$ で $\frac13$ に近づく。これが面積 $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$。図の短冊も、右端ぶん少し大きめから、細くするほどこの $\frac13$ へ近づいていくね。

10. 7

    $\sum \frac1n\,f(\frac kn)$ の形の和を見たら、はば $\frac1n$・高さ $f(\frac kn)$ の短冊とみて $\int_0^1 f\,dx$ に読みかえる。和の極限を積分に翻訳する、これが区分求積の使いどころだよ。