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円錐の体積を積分で導く

📖 言葉で読む:回転体の体積(ディスク法) →

円錐の体積を積分で導く全2問

円錐の体積を積分で導く
曲線を回した体積を積分で出す

① 考えてみよう

底面の半径1・高さ4の円錐の体積を、積分で求めよう。直線 $y=\frac{1}{4}x$ を $x$ 軸のまわりに1回転させると、この円錐ができるよ。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
底面の半径1・高さ4の円錐の体積を、積分で求めよう。直線 $y=\frac{1}{4}x$ を $x$ 軸のまわりに1回転させると、この円錐ができるよ。
2
円錐をうすい円板に切り分けて足したら、体積に近づけられそう。答えはいくつになると思う?
② 考え方
3
位置 $x$ でスパッと切ると、切り口は半径 $r=\frac{1}{4}x$ の円。その断面積は $S = \pi r^2 = \pi(\frac{1}{4}x)^2 = \pi x^2/16$ だね。
4
厚さ $\Delta x$ のうすい円板1枚の体積は、断面積×厚さ = $S \times \Delta x$ 。これは短冊1本ぶん。まず1枚でざっくり積もう。
5
円板を増やして薄くするほど、はみ出していたすき間が消えて、本物の体積にぐんぐん近づくよ。
③ 解答
6
うんと薄く・たくさんにすると、和は $4\pi/3$ ≈ 4.19 に近づく。これが $\int_0^4 \pi x^2/16\,dx$ = 回転体の体積だよ。
7
確かめると、円錐の公式 $(1/3)\pi r^2 h = (1/3)\pi \cdot 1^2 \cdot 4 = 4\pi/3$ とぴったり同じ!回転体の体積は『断面積の積分』、これが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

直線 $y = \frac{1}{4}x$ 、 $x$ 軸、直線 $x = 4$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体(底面の半径 $1$ 、高さ $4$ の円錐)の体積を $V$ とする。

$x$ 軸に垂直な平面で位置 $x$ で切ると、切り口は半径 $\frac{1}{4}x$ の円なので、断面積は $\pi\left(\frac{1}{4}x\right)^2 = \frac{\pi x^2}{16}$

回転体の体積は断面積を積分して求められるので $V = \pi\int_{0}^{4} y^2\,dx = \int_{0}^{4} \frac{\pi x^2}{16}\,dx$

$= \frac{\pi}{16}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{\pi}{16} \times \frac{64}{3} = \frac{4\pi}{3}$

(確かめ)円錐の体積の公式 $\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \times 1^2 \times 4 = \frac{4\pi}{3}$ と一致する。

答え $\frac{4\pi}{3}$

減点されやすいポイント

答案では、回転軸( $x$ 軸)と積分の範囲( $0 \leqq x \leqq 4$ )、切り口が半径 $y$ の円であることを書いてから $V = \pi\int y^2\,dx$ に入ろう。 $y$ を2乗し忘れて $\pi\int_0^4 \frac{x}{4}\,dx$ とすると $2\pi$ になってしまうね。 $\frac{1}{3}$ を忘れて円柱と同じ $4\pi$ にするのも定番のまちがいだよ。

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