円錐の体積を積分で導く

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   底面の半径1・高さ4の円錐の体積を、積分で求めよう。直線 $y=\frac{1}{4}x$ を $x$軸のまわりに1回転させると、この円錐ができるよ。

3. 2

   円錐をうすい円板に切り分けて足したら、体積に近づけられそう。答えはいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   位置 $x$ でスパッと切ると、切り口は半径 $r=\frac{1}{4}x$ の円。その断面積は $S = \pi r^2 = \pi(\frac{1}{4}x)^2 = \pi x^2/16$ だね。

6. 4

   厚さ $\Delta x$ のうすい円板1枚の体積は、断面積×厚さ = $S \times \Delta x$。これは短冊1本ぶん。まず1枚でざっくり積もう。

7. 5

   円板を増やして薄くするほど、はみ出していたすき間が消えて、本物の体積にぐんぐん近づくよ。

8. ③ 解答
9. 6

   うんと薄く・たくさんにすると、和は $4\pi/3$ ≈ 4.19 に近づく。これが $\int_0^4 \pi x^2/16\,dx$ = 回転体の体積だよ。

10. 7

    確かめると、円錐の公式 $(1/3)\pi r^2 h = (1/3)\pi \cdot 1^2 \cdot 4 = 4\pi/3$ とぴったり同じ!回転体の体積は『断面積の積分』、これが使いどころだよ。