不等式の表す領域の解き方｜領域と最大・最小

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① 考えてみよう
1
まず $x \ge 0$ ・ $y \ge 0$ と $x+2y \le 10$ ・ $3x+2y \le 18$ 、この不等式がつくる「動ける範囲」を塗ってみたよ。
2
この中で $z = x+y$ を最大にしたい。 $z = k$ は傾き $-1$ の直線だね。
3
この直線を平行移動させると、 $z$ はいくつまで大きくできそう?
② 考え方
4
$k$ を大きくすると直線は右上へ平行移動。はみ出す直前が最大だよ。
③ 解答
5
ぎりぎり触れるのは頂点 $(4, 3)$ 。だから $z$ の最大値は 7 だね!

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

連立不等式 $x \geqq 0$ 、 $y \geqq 0$ 、 $x + 2y \leqq 10$ 、 $3x + 2y \leqq 18$ の表す領域を考える。

直線 $x + 2y = 10$ と $3x + 2y = 18$ の交点は、辺々ひいて $2x = 8$ より $x = 4$ 、 $y = 3$ で、点 $(4, 3)$ である。

$3x + 2y = 18$ と $x$ 軸の交点は $(6, 0)$ で $x + 2y \leqq 10$ を満たし、 $x + 2y = 10$ と $y$ 軸の交点は $(0, 5)$ で $3x + 2y \leqq 18$ を満たすので、領域は4点 $(0, 0)$ 、 $(6, 0)$ 、 $(4, 3)$ 、 $(0, 5)$ を頂点とする四角形の周と内部である。

$z = x + y$ の値を $k$ とおくと $y = -x + k$ で、これは傾き $-1$ 、 $y$ 切片 $k$ の直線を表す。この直線が領域と共有点をもつような $k$ の最大値を求めればよい。

境界の直線 $x + 2y = 10$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ 、 $3x + 2y = 18$ の傾きは $-\frac{3}{2}$ で、 $-\frac{3}{2} < -1 < -\frac{1}{2}$ である。

よって $k$ を大きくして直線を上へ平行移動させるとき、領域と共有点をもつ最後の点は、この2直線の交点である頂点 $(4, 3)$ である。

そのとき $k = 4 + 3 = 7$

答え $x = 4$ 、 $y = 3$ のとき、 $z$ の最大値は $7$

減点されやすいポイント

直線 $x + y = k$ の傾き $-1$ を、境界の2直線の傾き $-\frac{1}{2}$ 、 $-\frac{3}{2}$ と比べておくと、どの頂点で最大になるかの根拠になるよ。 $x$ 切片の頂点 $(6, 0)$ で判断すると $z = 6$ で、 $(4, 3)$ の $7$ より小さいね。制約式の右辺 $10$ をそのまま最大値と思うのもまちがいで、直線 $x + y = 10$ は領域と共有点をもたないよ。

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