判別式で「接する条件」を求める

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y = x^2 - 2x + k$ だよ。$k$ はまだ決めてない定数。『この放物線が $x$ 軸にちょうど接するような $k$』を求めるのが今日の問題だよ。

3. 2

   $k$ を変えると放物線は上下にずれる。$x$ 軸と2点で交わったり、交わらなかったり…『1点だけで接する』$k$ はいくつだと思う?

4. ② 考え方
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   まず $k = 0$ のとき。$y = x^2 - 2x = x(x-2)$ だから、$x$ 軸とは $x = 0$ と $x = 2$ の2か所で交わる。実数解は2個だね。

6. 4

   交点の数は判別式 $D = b^2 - 4ac$ で見分けられたね。ここは $a = 1$、$b = -2$ だから $D = 4 - 4k$。$k = 0$ では $D = 4$ でプラス、だから2個なんだ。

7. 5

   では $k$ を大きくしていこう。放物線が上へ動いて、2つの交点が近づいてくる。やがて…ちょうど頂点が $x$ 軸に乗って、1点で接したね!

8. 6

   接するのは2つの交点が1つに重なったとき=重解だね。重解になるのは判別式がちょうど 0、つまり $D = 0$ のときだったよ。

9. 7

   ちなみに $k = 2$ まで上げると、放物線は $x$ 軸より上に浮いて交わらない。実数解なし=「いつも $y>0$(常に正)」で、このとき $D$ は $D<0$ になっているよ。

10. ③ 解答
11. 8

    では接する条件 $D = 0$ を解こう。$4 - 4k = 0$ だから $k = 1$。これが答え! 式も $(x-1)^2$ になって重解だと確かめられる。接する境目は $D = 0$、交点の数は $D$ の符号で決まるのが使いどころだよ。