y=ax² の変化の割合(割線の傾き)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y = x^2$ の上に、$x = -2$ の点 $(-2, 4)$ と $x = 1$ の点 $(1, 1)$ をとったよ。この2点の間で、$x$ が $-2$ から 1 まで進むとき「変化の割合」はいくつになると思う?

3. 2

   変化の割合は「$y$ の増加量 $\div$ $x$ の増加量」だったね。$y$ は 4 から 1 に減って、$x$ は $-2$ から 1 に増える。さあ、割合はいくつかな?

4. ② 考え方
5. 3

   計算してみよう。$y$ の増加量は $1 - 4 = -3$(減ったのでマイナス)、$x$ の増加量は $1 - (-2) = 3$。だから変化の割合は $-3 \div 3 = -1$ だね。図の割線(2点を結ぶ直線)を引くと、その傾きがちょうど $-1$ の右下がりになっているよ。

6. 4

   じつは $y = ax^2$ で $x$ が $p$ から $q$ に変わるときの変化の割合は、いつも $a(p+q)$ になるんだ。ここは $a=1$・$p=-2$・$q=1$ だから $1 \times (-2+1) = -1$。符号もそのまま合うね。

7. 5

   ここが一次関数と違うところ。直線なら変化の割合はどこでも同じ(=傾き)だけど、放物線は区間で違う。ためしに $x$ を $-1$ から 2 にずらすと、こんどは割線が右上がりになって変化の割合は $+1$ になるよ。

8. ③ 解答
9. 6

   もとの $x : -2 \to 1$ に戻すと、変化の割合はやっぱり $-1$。これは2点を結ぶ割線の傾きそのもので、動く点なら「その区間の平均の速さ」としても読めるんだ。

10. 7

    変化の割合は「$y$ の増加量 $\div$ $x$ の増加量」=割線の傾き。$y=ax^2$ なら $a(p+q)$ で一発、符号もそのまま。これが二次関数の変化の割合の使いどころだよ。