通過領域 ― 範囲のある直線が掃く扇

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   $a$ を1つ決めると直線 $\ell$:$y = ax + 2$ が1本引けるよ。$x = 0$ のときいつも $y = 2$ だから、どの $\ell$ も定点 $A(0, 2)$ を通るね。

3. 2

   今回 $a$ は $-1$〜$1$ の範囲しか動けない。範囲に区切りがあると、$\ell$ が掃く点の集まりはどんな形になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   では $a$ を動かしてみよう。$\ell$ は $A$ を支点にくるっと回って、扇形に広がっていくよ。

6. 4

   回る $\ell$ がいちばん外まで来るのは、範囲の両端 $a = 1$ と $a = -1$ のとき。この2本 $y = x + 2$ と $y = -x + 2$ が扇のフチ=境界になるんだ。

7. ③ 解答
8. 5

   だから $\ell$ が通れるのは、この端の2直線ではさまれた部分ぜんぶ。色をつけたここが通過領域だよ。

9. 6

   なぜ端の2本で決まる?$x$ を1つ固定すると $y = ax + 2$ は $a$ の一次式。$a$ が $-1$〜$1$ を動くと、$y$ は端 $a = \pm 1$ のときの値の間をぜんぶとるからだよ。

10. 7

    見分け方:パラメータが一次で範囲があるときは端点を代入した2直線ではさむ。二次なら判別式(放物線)。前回の放物線とセットで覚えよう。