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通過領域 ― 動く直線が掃く範囲

通過領域 ― 動く直線が掃く範囲全4問

① 考えてみよう

実数 $t$ を決めるごとに直線 $\ell$ : $y = tx - t^2$ が1本引けるよ。 $t$ を動かしたとき $\ell$ が通る点をぜんぶ集めた範囲=通過領域を求めよう。

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① 考えてみよう
1
実数 $t$ を決めるごとに直線 $\ell$ : $y = tx - t^2$ が1本引けるよ。 $t$ を動かしたとき $\ell$ が通る点をぜんぶ集めた範囲=通過領域を求めよう。
2
$t$ をぜんぶ動かすと、 $\ell$ はいろんな向きで動く。平面には $\ell$ が通れる点と通れない点があるのかな?どこまで届くと思う?
② 考え方
3
$t$ を動かすと $\ell$ は向きを変えながら動くね。よく見ると、いつも 1 本の放物線 $y=x^2/4$ にそっと接しているよ。
4
どの $\ell$ も放物線より上には出られない。放物線 $y=x^2/4$ が、 $\ell$ の届く範囲のフチ(境界)になっているんだ。
③ 解答
5
だから $\ell$ が通れるのは放物線とその下がわぜんぶ。色をつけたこの部分=通過領域、 $y \le x^2/4$ だよ。
6
なぜ?コツは直線の式を「 $t$ についての2次方程式」 $t^2-xt+y=0$ と見ること。これが実数解をもつ条件は判別式 $\ge 0$ (判別式の単元で習ったね)。 $x^2-4y \ge 0$ 、つまり $y \le x^2/4$ が答えだ。
7
パラメータが動く問題は『そのパラメータについての方程式』とみて、実数解をもつ条件(判別式)を出す。これが通過領域の定石だよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

点 $(X, Y)$ が通過領域に入るのは、 $Y = tX - t^2$ を満たす実数 $t$ があるときである。

この式を $t$ について整理すると $t^2 - Xt + Y = 0$ ……①

よって、 $t$ の2次方程式①が実数解をもつ条件を求めればよい。①の判別式を $D$ とすると、その条件は $D \geqq 0$ である。

$D = X^2 - 4Y \geqq 0$ より $Y \leqq \frac{X^2}{4}$

$X$ 、 $Y$ を $x$ 、 $y$ に書きかえると、通過領域は不等式 $y \leqq \frac{x^2}{4}$ の表す領域である。

答え放物線 $y = \frac{x^2}{4}$ とその下側( $y \leqq \frac{x^2}{4}$ の表す領域。境界線をふくむ)

減点されやすいポイント

「点 $(X, Y)$ を固定して、 $t$ の方程式が実数解をもつか」に言いかえる1行が答案の核心だよ。判別式の $4$ を落として $y \leqq x^2$ とすると、たとえば点 $(2, 2)$ も入ってしまうけれど、 $t^2 - 2t + 2 = 0$ は判別式が $4 - 8 < 0$ で実数解がないから、本当は通れない点だね。「傾きが自由だから平面ぜんぶ」と思いがちだけど、放物線より上の点を通る $\ell$ はないよ。

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