通過領域 ― 動く直線が掃く範囲

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   実数 $t$ を決めるごとに直線 $\ell$:$y = tx - t^2$ が1本引けるよ。$t$ を動かしたとき $\ell$ が通る点をぜんぶ集めた範囲=通過領域を求めよう。

3. 2

   $t$ をぜんぶ動かすと、$\ell$ はいろんな向きで動く。平面には $\ell$ が通れる点と通れない点があるのかな?どこまで届くと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   $t$ を動かすと $\ell$ は向きを変えながら動くね。よく見ると、いつも 1 本の放物線 $y=x^2/4$ にそっと接しているよ。

6. 4

   どの $\ell$ も放物線より上には出られない。放物線 $y=x^2/4$ が、$\ell$ の届く範囲のフチ(境界)になっているんだ。

7. ③ 解答
8. 5

   だから $\ell$ が通れるのは放物線とその下がわぜんぶ。色をつけたこの部分=通過領域、$y \le x^2/4$ だよ。

9. 6

   なぜ?コツは直線の式を「$t$ についての2次方程式」$t^2-xt+y=0$ と見ること。これが実数解をもつ条件は判別式 $\ge 0$(判別式の単元で習ったね)。$x^2-4y \ge 0$、つまり $y \le x^2/4$ が答えだ。

10. 7

    パラメータが動く問題は『そのパラメータについての方程式』とみて、実数解をもつ条件(判別式)を出す。これが通過領域の定石だよ。