放物線と接線で囲む面積(1/12公式)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y = x^2$ だよ。$A(-1, 1)$ と $B(2, 4)$ を結ぶ弦で囲んだ部分の面積は、1/6公式で 4.5(別の使いどころで扱ったね)。今日は弦でなく $A$・$B$ での「接線」で囲んでみよう。

3. 2

   同じ $A$・$B$ でも、弦のかわりに2本の接線で囲むと、とがった図形になる。この面積は、弦のときの 4.5 と同じになると思う?それとも変わるかな?

4. ② 考え方
5. 3

   まず $A(-1, 1)$ での接線。傾きは微分 $f'(x) = 2x$ で $f'(-1) = -2$ だから、$y = -2x - 1$。放物線にそっと1点で触れているね。

6. 4

   つぎに $B(2, 4)$ での接線。$f'(2) = 4$ だから $y = 4x - 4$。2本の接線は、放物線の下のほうでぶつかりそうだね。

7. 5

   2本の接線が交わる点 $V$ を求めると、$x$ はちょうど2つの接点のまん中 $(-1+2) \div 2 = 0.5$ で、$V(0.5, -2)$。放物線の弧と、$V$ でとがる2接線で囲まれた図形ができたよ。

8. 6

   面積の求め方を考えよう。弦 $AB$ を引くと、2本の接線と合わせて三角形 $ABV$ ができるね。座標から計算すると、この三角形 $ABV$ の面積は 6.75 だよ。

9. 7

   放物線の弧が三角形を上下に分けているね。上の部分(弦と弧のあいだ)は、前にやった弦で囲む面積でちょうど 4.5。だから下の求める部分は $6.75 - 4.5 = 2.25$ だ!

10. ③ 解答
11. 8

    じつは近道があって、放物線と2接線で囲む面積は $1/12 \times$(接点の差)の3乗。ここは $1/12 \times (2-(-1))^3 = 27/12 = 2.25$。引き算で出した値とぴったり一致するね!

12. 9

    おもしろいのは、同じ $A$・$B$ を弦で囲んだとき(1/6公式)は 4.5 だったこと。接線でとがらせると、ちょうどその半分の 2.25 になるんだ。不思議だよね。

13. 10

    放物線と接線で囲む面積は 1/12公式で一発。弦の 1/6 とセットで「6分の1・12分の1」と覚えると、積分を計算しなくても面積が出せる。これが使いどころだよ。