放物線と接線で囲む面積(1/12公式)

$f(x) = x^2$ とおくと $f'(x) = 2x$ である。

$A(-1, 1)$ での接線は、傾き $f'(-1) = -2$ なので $y = -2(x + 1) + 1$、すなわち $y = -2x - 1$ ……①

$B(2, 4)$ での接線は、傾き $f'(2) = 4$ なので $y = 4(x - 2) + 4$、すなわち $y = 4x - 4$ ……②

①、②の交点を $V$ とすると、$-2x - 1 = 4x - 4$ より $x = \frac{1}{2}$、$y = -2$ で $V\left(\frac{1}{2}, -2\right)$

$x^2 - (-2x - 1) = (x + 1)^2 \geqq 0$、$x^2 - (4x - 4) = (x - 2)^2 \geqq 0$ なので、放物線は2本の接線①、②より上にある。

弦 $AB$ をひくと、求める部分は $\triangle ABV$ から、弦 $AB$ と放物線で囲まれた部分を除いたものである。

弦 $AB$ の式は、2点 $A$、$B$ を通るので $y = x + 2$ である。$V$ を通り $y$ 軸に平行な直線と弦 $AB$ の交点を $M$ とすると $M\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ で、$VM = \frac{5}{2} - (-2) = \frac{9}{2}$

$\triangle ABV$ は $VM$ で2つの三角形に分かれ、それぞれ $VM$ を底辺とみると高さの和は $A$、$B$ の $x$ 座標の差 $2 - (-1) = 3$ なので、$\triangle ABV = \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{4}$

$-1 \leqq x \leqq 2$ では弦が放物線の上にあるので、弦と放物線で囲まれた部分の面積は $\int_{-1}^{2} \{(x + 2) - x^2\}\,dx = \frac{1}{6}\{2 - (-1)\}^3 = \frac{9}{2}$

よって、求める面積は $\frac{27}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4}$

(確かめ)放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と、$x = \alpha$、$\beta$ での2本の接線で囲む面積は $\frac{|a|}{12}(\beta - \alpha)^3$ で、$\frac{1}{12} \times 3^3 = \frac{9}{4}$ と一致する。

答え $\frac{9}{4}$