放物線と直線で囲む面積(区分求積→1/6公式)

放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点の $x$ 座標は、$x^2 = x + 2$ より $x^2 - x - 2 = 0$、$(x + 1)(x - 2) = 0$ なので $x = -1$、$2$

$-1 \leqq x \leqq 2$ では $(x + 2) - x^2 = -(x + 1)(x - 2) \geqq 0$ なので、直線が放物線の上にある。

よって、求める面積を $S$ とすると $S = \int_{-1}^{2} \{(x + 2) - x^2\}\,dx = -\int_{-1}^{2} (x + 1)(x - 2)\,dx$

$= \left[\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \left(2 + 4 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}$

(確かめ)$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$ で $\alpha = -1$、$\beta = 2$ とすると、$S = \frac{1}{6}\{2 - (-1)\}^3 = \frac{9}{2}$ と一致する。

答え $\frac{9}{2}$