放物線と直線で囲む面積(区分求積→1/6公式)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ だよ。この2つで囲まれた弓のような形の面積を求めたいんだ。曲線がまざるから、四角形の公式だけじゃ無理だね。

3. 2

   まっすぐな辺がないこの弓形、長方形や三角形の公式は使えないね。目もりを手がかりに、この弓形の面積はいくつくらいになるか予想してみよう。

4. ② 考え方
5. 3

   まず囲む範囲を決めよう。連立 $x^2 = x + 2$ を整理すると $x^2-x-2=0$、$(x-2)(x+1)=0$。交点は A$(-1, 1)$ と B$(2, 4)$ だね。

6. 4

   コツは「縦のすき間」に注目すること。各 $x$ で、上の直線から下の放物線を引くと $(x+2)-x^2 = -x^2+x+2$。これを $g(x)$ と呼ぶよ。

7. 5

   この $g(x)$ を1本のグラフにすると、$x$軸の上にのった山になる(A と B の $x$座標 $x=-1$・$x=2$ でちょうど0)。山の下の面積が、さっきの弓形の面積と同じなんだ。

8. 6

   では区分求積。まず幅広の短冊1本でざっくり覆うと面積は 6.75。山よりだいぶ大きいね。ここから本数を増やしていくよ。

9. 7

   4本に分けると約4.64。短冊を細くするほど、はみ出していた角が小さくなって、山にぴったり近づいていくのがわかる?

10. 8

    16本では約4.51。本数を限りなく増やした先の値は 4.5。これが弓形のほんとうの面積=積分だよ。

11. ③ 解答
12. 9

    じつは近道があって、放物線と直線で囲む面積は $x^2$ の係数が1なら $1/6 \times$(交点の差)$^3$。ここは $1/6 \times (2-(-1))^3 = 27/6 = 4.5$。短冊を増やした先とぴったり一致するね!