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放物線と直線の交点と原点でつくる三角形

放物線と直線の交点と原点でつくる三角形全6問

① 考えてみよう

放物線 $y = x^2$ に、直線 $y = x + 2$ を重ねるよ。お椀の形と直線が、2か所で交わるのが見えるね。

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
放物線 $y = x^2$ に、直線 $y = x + 2$ を重ねるよ。お椀の形と直線が、2か所で交わるのが見えるね。
2
この2つの交点と原点 O を結ぶと三角形ができる。その面積はいくつになるだろう?
② 考え方
3
まず交点をきちんと求めよう。 $y$ をそろえて $x^2 = x + 2$ 。整理すると $x^2-x-2=0$ 。因数分解を思い出すと $(x-2)(x+1)=0$ だね。
4
解は $x=-1$ と $x=2$ 。式に戻すと $y$ も決まって、左が A $(-1, 1)$ 、右が B $(2, 4)$ 。三角形の上の2つの頂点は、この交点だったんだね。
5
直線は $y$ じくを C $(0, 2)$ で切るね。この OC を共通の底辺にして、△OAB を OC の左(A側)と右(B側)の2つに分けるよ。
③ 解答
6
各三角形の高さは、頂点が $y$ じくからどれだけ横に離れているか。A は1、B は2。だから $\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ と $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ 、合わせて3だよ。
7
交点は連立で出し、面積は交点と原点で三角形を作って求める。これが放物線と直線を組み合わせた問題の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$y = x^2$ と $y = x + 2$ を連立して $x^2 = x + 2$

$x^2 - x - 2 = 0$ より $(x - 2)(x + 1) = 0$ なので $x = -1, 2$

$y = x^2$ に代入して、交点は $A(-1, 1)$ 、 $B(2, 4)$

直線 $y = x + 2$ と $y$ 軸の交点を $C$ とすると $C(0, 2)$ で、 $OC = 2$

点 $C$ は線分 $AB$ 上にあるので、 $\triangle OAB = \triangle OAC + \triangle OBC$ である。

$\triangle OAC$ は底辺を $OC$ とすると、高さは点 $A$ と $y$ 軸の距離 $1$ なので $\frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$

$\triangle OBC$ は底辺を $OC$ とすると、高さは点 $B$ と $y$ 軸の距離 $2$ なので $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$

よって $\triangle OAB = 1 + 2 = 3$

答え $3$

減点されやすいポイント

点 $C$ は問題にない点なので、「直線と $y$ 軸の交点」と定義してから使おう。底辺 $OC$ は $y$ 軸の上にあるから、高さは $x$ 座標から読むよ。高さに $y$ 座標を使うと $1 + 4 = 5$ 、 $\frac{1}{2}$ をかけ忘れると $2 + 4 = 6$ になってしまう。

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