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垂心まわりの角 ∠BHC を求める

📖 言葉で読む:三角形の垂心(3垂線の交点) →
50°?ABCEFH
① 考えてみよう

三角形 ABCABC で ∠A=50∘\angle A = 50^\circ。BB・CC から向かいの辺へ垂線を下ろし、交点(垂心)を HH とするよ。さて、∠BHC\angle BHC は何度になるかな?

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    三角形 ABCABC で ∠A=50∘\angle A = 50^\circ。BB・CC から向かいの辺へ垂線を下ろし、交点(垂心)を HH とするよ。さて、∠BHC\angle BHC は何度になるかな?

  3. 2

    HH のまわりの角と、AA の 50∘50^\circ。バラバラに見えるけど、足 EE・FF はどちらも直角。この直角たちが効いてきそうじゃない?

  4. ② 考え方
  5. 3

    頂点 AA・足 FF・垂心 HH・足 EE でできる四角形 AFHEAFHE に注目。角は ∠A=50∘\angle A = 50^\circ、∠F=∠E=90∘\angle F = \angle E = 90^\circ(垂線だから)。四角形の内角の和は 360∘360^\circ だね。

  6. 4

    だから残りの ∠FHE=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\angle FHE = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ。そして ∠BHC\angle BHC は、この ∠FHE\angle FHE と向かい合う対頂角だから、同じ大きさになるよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    答えは ∠BHC=130∘\angle BHC = 130^\circ!対頂角で ∠FHE\angle FHE がそのまま移ったね。

  9. 6

    じつは一般に ∠BHC=180∘−∠A\angle BHC = 180^\circ - \angle A。90+90+∠A90+90+\angle A の残りが ∠FHE\angle FHE だから、∠A\angle A さえわかれば垂心まわりの角は一瞬で出るよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

HH は垂線 BEBE、CFCF の交点である。

CFCF、BEBE はそれぞれ辺 ABAB、CACA への垂線なので ∠AFH=∠AEH=90∘\angle AFH = \angle AEH = 90^\circ

仮定より ∠A=50∘\angle A = 50^\circ で、四角形 AFHEAFHE の内角の和は 360∘360^\circ なので

∠FHE=360∘−50∘−90∘−90∘=130∘\angle FHE = 360^\circ - 50^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 130^\circ

∠BHC\angle BHC と ∠FHE\angle FHE は対頂角なので ∠BHC=∠FHE=130∘\angle BHC = \angle FHE = 130^\circ

答え ∠BHC=130∘\angle BHC = 130^\circ

減点されやすいポイント

垂線の足の直角2つは、「垂線なので」と理由をつけて書こう。∠FHE\angle FHE で止めずに、対頂角で ∠BHC\angle BHC に移す1行を忘れないこと。∠A\angle A と同じ 50∘50^\circ にしたり、中心角のように2倍の 100∘100^\circ にしたりするのが定番のまちがいだよ。

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