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余弦定理で残りの辺を求める

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余弦定理で残りの辺を求める全3問
120°ABC?53
① 考えてみよう

∠A=120∘\angle A = 120^\circ で、はさむ2辺は AB=5AB = 5・AC=3AC = 3 だよ。向かいの辺 a=BCa = BC を求めてみよう。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    ∠A=120∘\angle A = 120^\circ で、はさむ2辺は AB=5AB = 5・AC=3AC = 3 だよ。向かいの辺 a=BCa = BC を求めてみよう。

  3. 2

    2辺とそのはさむ角がわかっているとき、向かいの辺を出せる定理があったね。鈍角120°の cos の符号にも注目してみよう。

  4. ② 考え方
  5. 3

    余弦定理は a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A。はさむ2辺 b,cb, c は AC=3AC = 3・AB=5AB = 5。cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} がポイントだよ。

  6. 4

    a2=32+52−2⋅3⋅5⋅(−1/2)=9+25+15=49a^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot (-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49。引き算が足し算に化けた!

  7. ③ 解答
  8. 5

    a=49=7a = \sqrt{49} = 7。2辺とそのはさむ角から、残りの辺が出せるんだ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

△ABC\triangle ABC で、余弦定理より BC2=AC2+AB2−2⋅AC⋅ABcos⁡ABC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \cdot AC \cdot AB \cos A

BC2=32+52−2⋅3⋅5cos⁡120∘BC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ

cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} なので BC2=9+25+15=49BC^2 = 9 + 25 + 15 = 49

BC>0BC > 0 より BC=7BC = 7

答え BC=7BC = 7

減点されやすいポイント

cos⁡120∘\cos 120^\circ は負なので、引き算の項が足し算に変わるところが山場。符号を落として 9+25−15=199 + 25 - 15 = 19 にすると 19\sqrt{19}、角を無視して三平方で 34\sqrt{34} にするのが定番のまちがいだよ。cos⁡120∘\cos 120^\circ の値を式に入れる前に1行で書いておくと、見直しやすい。

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