区間の最大最小(極値と端をくらべる)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   曲線 $y = x^3 - 3x$ だよ。今度は「$0 \le x \le 2$ の範囲」の中だけで、最大の値と最小の値を探したいんだ。範囲が決まっているのがポイント。

3. 2

   範囲が決まっていると、いちばん高い・低い点はどこにできると思う?グラフの折り返し(山や谷)だけ調べれば足りるのかな?

4. ② 考え方
5. 3

   前のレッスンで、この曲線には山$(-1, 2)$と谷$(1, -2)$があったね。でも山の $x = -1$ は今回の範囲(0〜2)の外。だから最大の候補にはならないんだ。

6. 4

   範囲の中にある折り返しは谷だけ。微分 $f'(x)=3x^2-3$ が 0 になる $x=1$ で、接線の傾きがちょうど 0。ここが谷$(1, -2)$だね。

7. 5

   最大最小は「範囲の端」も必ず候補にするよ。端の値を調べると、左端 $x=0$ で $f=0$、右端 $x=2$ で $f=2$。2つとも印をつけよう。

8. 6

   候補をぜんぶならべるよ。左端 $f(0)=0$、谷 $f(1)=-2$、右端 $f(2)=2$。この3つをくらべて、いちばん大きいのは $2$、いちばん小さいのは $-2$ だね。

9. ③ 解答
10. 7

    だから $0 \le x \le 2$ では、最大値は右端 $x=2$ で $2$、最小値は谷 $x=1$(極小)で $-2$。最大は端で、最小は極値で出たね。

11. 8

    範囲つきの最大最小は「極値だけでなく端も候補」にして全部くらべるのがコツ。山(極大)が範囲の外なら、最大にならないこともある。これが使いどころだよ。