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区間の最大最小(極値と端をくらべる)

📖 言葉で読む:関数の増減と極値(導関数の符号) →
区間の最大最小(極値と端をくらべる)全2問
① 考えてみよう

曲線 y=x3−3xy = x^3 - 3x だよ。今度は「0≤x≤20 \le x \le 2 の範囲」の中だけで、最大の値と最小の値を探したいんだ。範囲が決まっているのがポイント。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    曲線 y=x3−3xy = x^3 - 3x だよ。今度は「0≤x≤20 \le x \le 2 の範囲」の中だけで、最大の値と最小の値を探したいんだ。範囲が決まっているのがポイント。

  3. 2

    範囲が決まっていると、いちばん高い・低い点はどこにできると思う?グラフの折り返し(山や谷)だけ調べれば足りるのかな?

  4. ② 考え方
  5. 3

    前のレッスンで、この曲線には山(−1,2)(-1, 2)と谷(1,−2)(1, -2)があったね。でも山の x=−1x = -1 は今回の範囲(0〜2)の外。だから最大の候補にはならないんだ。

  6. 4

    範囲の中にある折り返しは谷だけ。微分 f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3 が 0 になる x=1x=1 で、接線の傾きがちょうど 0。ここが谷(1,−2)(1, -2)だね。

  7. 5

    最大最小は「範囲の端」も必ず候補にするよ。端の値を調べると、左端 x=0x=0 で f=0f=0、右端 x=2x=2 で f=2f=2。2つとも印をつけよう。

  8. 6

    候補をぜんぶならべるよ。左端 f(0)=0f(0)=0、谷 f(1)=−2f(1)=-2、右端 f(2)=2f(2)=2。この3つをくらべて、いちばん大きいのは 22、いちばん小さいのは −2-2 だね。

  9. ③ 解答
  10. 7

    だから 0≤x≤20 \le x \le 2 では、最大値は右端 x=2x=2 で 22、最小値は谷 x=1x=1(極小)で −2-2。最大は端で、最小は極値で出たね。

  11. 8

    範囲つきの最大最小は「極値だけでなく端も候補」にして全部くらべるのがコツ。山(極大)が範囲の外なら、最大にならないこともある。これが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x(0≦x≦20 \leqq x \leqq 2)とおくと f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)

f′(x)=0f'(x) = 0 となるのは x=±1x = \pm 1 で、このうち 0≦x≦20 \leqq x \leqq 2 にあるのは x=1x = 1 だけである。

0<x<10 < x < 1 では f′(x)<0f'(x) < 0 なので f(x)f(x) は減少し、1<x<21 < x < 2 では f′(x)>0f'(x) > 0 なので f(x)f(x) は増加する。

よって f(x)f(x) は x=1x = 1 で極小値 f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2 をとる。

区間の端の値は f(0)=0f(0) = 0、f(2)=8−6=2f(2) = 8 - 6 = 2

極値と端の値 f(0)=0f(0) = 0、f(1)=−2f(1) = -2、f(2)=2f(2) = 2 をくらべて、最大値は 22、最小値は −2-2 である。

答え 最大値 22(x=2x = 2 のとき)、最小値 −2-2(x=1x = 1 のとき)

減点されやすいポイント

範囲つきの最大・最小は、増減表(f′(x)f'(x) の符号)を書いて、極値と区間の両端をぜんぶくらべるのが型だよ。端だけ見て f(0)=0f(0) = 0 と f(2)=2f(2) = 2 から「最小 00」とすると谷の −2-2 を見落とすし、極値と左端だけくらべて右端を忘れると「最大 00」になってしまうね。極大の x=−1x = -1 は範囲の外なので、候補に入れないことも書いておこう。

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