確率漸化式で3回後の確率(カエルと2枚の葉)

$n$ 回飛んだあとに葉Aにいる確率を $p_n$ とする。はじめは葉Aにいるので $p_0 = 1$

カエルはいつも葉Aか葉Bのどちらか一方にいるので、$n$ 回後に葉Bにいる確率は $1 - p_n$

次の飛び方の確率は、そのときにいる葉だけで決まる。$n + 1$ 回後に葉Aにいるのは、「$n$ 回後に葉Aにいて、とどまる」場合と「$n$ 回後に葉Bにいて、葉Aへ移る」場合のどちらかで、この2つは同時には起こらない。それぞれの確率は、$n$ 回後の位置の確率とそこからの飛び方の確率の積である。

よって $p_{n+1} = \frac{1}{2} p_n + \frac{1}{4}(1 - p_n) = \frac{1}{4} p_n + \frac{1}{4}$ ……(*)

(*)に $n = 0$ を代入して $p_1 = \frac{1}{4} \times 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(*)に $n = 1$ を代入して $p_2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$

(*)に $n = 2$ を代入して $p_3 = \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{11}{32}$

答え $\frac{11}{32}$