確率漸化式で3回後の確率(カエルと2枚の葉)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   カエルが葉Aと葉Bを毎回飛び移るよ。今は葉Aにいるから、葉Aが満タン(確率1)で葉Bは空っぽ(確率0)だね。

3. 2

   矢印の数字が飛び方の確率だよ。葉Aは とどまる1/2・葉Bへ1/2、葉Bは居心地がよくて とどまる3/4・葉Aへ戻るのは1/4。左右で違うのがポイントだね。

4. 3

   知りたいのは「3回飛んだあと、葉Aにいる確率」。1回ずつ確率を更新していくと、いくつになるだろう?

5. ② 考え方
6. 4

   次に葉Aにいる確率=(今A)$\times1/2$+(今B)$\times1/4$。葉Aにいなければ葉Bにいるから、いつでも 今B$=1-$今A だね。この式に前の値を入れて進めるよ。

7. 5

   1回目。今はA=1・B=0だから、次のAは $1\times1/2+0\times1/4=1/2$。葉Aがちょうど半分になったね。

8. 6

   2回目。さっきのA=1/2・B=1/2を同じ式に入れて、$1/2\times1/2+1/2\times1/4=3/8$。前の値を1回使うだけで次が出るよ。

9. ③ 解答
10. 7

    3回目。A=3/8・B=5/8で、$3/8\times1/2+5/8\times1/4=11/32$≈0.34。これが3回後に葉Aにいる確率、答えだよ。

11. 8

    ポイントは、前の確率を漸化式に1回入れるだけで次が決まること。このまま続けると葉A=1/3に近づく。居心地のいい葉Bに偏るんだね。