焦点・準線・離心率 ― 3兄弟を1つの定義で

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   焦点 F と準線 ℓ を用意して、P から測った2つの距離、PF と「ℓ までの距離 PD」を見よう。この比 e=PF/PD を離心率というよ。

3. 2

   比 $e$ を $\frac12$・$1$・$2$ と変えると、$P$ の軌跡はどんな曲線になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず e=1/2、つまり PF が PD の半分のとき。比を保って P を集めると、まるく閉じた曲線、楕円になるよ。習った『2焦点からの距離の和が一定』の楕円と、じつは同じ形なんだ。

6. 4

   次に e=1、PF と PD がちょうど等しいとき。これは前にやった放物線そのもの。焦点と準線から等距離の点だね。

7. 5

   今度は e=2、PF が PD の2倍のとき。焦点と準線をこう置くと、左右ではなく上下2本の枝に分かれた曲線、双曲線が現れるよ。

8. ③ 解答
9. 6

   和が一定なら楕円・差なら双曲線・等距離なら放物線。でも「焦点と準線の距離の比 e」で見れば、e<1・e=1・e>1 の1つの定義で3兄弟ぜんぶ説明できるんだ。