焦点・準線・離心率 ― 3兄弟を1つの定義で

焦点 $F$ を原点、準線 $\ell$ を直線 $y = -p$($p > 0$)とする座標をとる。点 $P(x, y)$ から $\ell$ におろした垂線の足を $D$ とする。

$PF = \sqrt{x^2 + y^2}$、$PD = |y + p|$ で、条件は $PF = e \cdot PD$ である。

両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同じ条件で $x^2 + y^2 = e^2(y + p)^2$ ……①

$e = 1$ のとき、①は $x^2 = 2py + p^2$ となり、$y = \frac{1}{2p}x^2 - \frac{p}{2}$ なので放物線である。

$e = \frac{1}{2}$ のとき、①は $x^2 + \frac{3}{4}y^2 - \frac{p}{2}y - \frac{p^2}{4} = 0$ で、$y$ について平方完成すると $x^2 + \frac{3}{4}\left(y - \frac{p}{3}\right)^2 = \frac{p^2}{3}$

両辺を $\frac{p^2}{3}$ でわると $\frac{x^2}{\frac{p^2}{3}} + \frac{\left(y - \frac{p}{3}\right)^2}{\frac{4p^2}{9}} = 1$ となる。これは楕円の標準形 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ を $y$ 軸方向に $\frac{p}{3}$ だけ平行移動した式なので、楕円である。

$e = 2$ のとき、①は $x^2 - 3y^2 - 8py - 4p^2 = 0$ で、$y$ について平方完成すると $x^2 - 3\left(y + \frac{4p}{3}\right)^2 = -\frac{4p^2}{3}$

両辺を $-\frac{4p^2}{3}$ でわると $\frac{\left(y + \frac{4p}{3}\right)^2}{\frac{4p^2}{9}} - \frac{x^2}{\frac{4p^2}{3}} = 1$ となる。これは双曲線の標準形 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ を $y$ 軸方向に $-\frac{4p}{3}$ だけ平行移動した式なので、双曲線である。

答え $e = \frac{1}{2}$ は楕円、$e = 1$ は放物線、$e = 2$ は双曲線