置きかえで二次に帰着する指数方程式

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   指数方程式 $4^x-3\cdot2^x+2=0$ を解きたいんだ。指数関数 $y=2^x$ はこんな曲線(必ず $(0,1)$ を通る)。でも $4^x$ と $2^x$ がまざっていて、このままだと解きにくいね。

3. 2

   ヒント: $4^x$ は $2^x$ を2回かけた $(2^x)^2$ とも書けるよ。この関係を使うと、方程式は見慣れた形に化けそう。解 $x$ はどんな値になると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   $4^x=(2^x)^2$ だから、$t=2^x$ とひとまとめに置きかえよう。すると $4^x=t^2$、$2^x=t$ で、方程式は $t^2-3t+2=0$。見慣れた二次方程式に化けた!

6. 4

   $t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0$ だから $t=1,\,2$。グラフでも放物線が $t$軸と $t=1,\,2$ で交わるね。$t=2^x$ は必ず正なので、$1$ も $2$ も正=どちらも使えるよ。

7. 5

   最後に $t$ を $x$ に戻すよ。$t=2^x$ だったから、$2^x=1$ と $2^x=2$。指数関数のグラフで横線と交わる $x$ を読むと、$2^x=1$ は $x=0$、$2^x=2$ は $x=1$ だね。

8. ③ 解答
9. 6

   答えは $x=0,\,1$。確かめると、$x=0$ で $4^0-3\cdot2^0+2=1-3+2=0$ ✓、$x=1$ で $4-6+2=0$ ✓。ちゃんと両方とも成り立つね。

10. 7

    $a^x$ が2乗で出てくる指数方程式は、$t=a^x$ とおくと二次に化ける。解いたら $t>0$ を確かめ、$x$ に戻す。この「置きかえ→二次→戻す」が使いどころだよ。