互除法を逆にたどって解を作る

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $3x+5y=1$ の整数解 $x$, $y$ を1組見つけたいんだ。こういう式は『不定方程式』(直線と格子点の単元で習う式だね)。互除法を逆にたどると作れる。まず $5\div3$ で $5=3\times1+2$ だね。

3. 2

   余りが1になるまでわり算を進めて、それを逆にたどると $1=\dots$ の形が作れる。$x$ と $y$ はどんな数になるだろう?

4. ② 考え方
5. 3

   つぎは 3 を、さっきの余り 2 でわる。$3=2\times1+1$ で余りが1。最大公約数が1だから、必ず「1=…」の形までたどりつけるんだ。

6. 4

   ここから逆もどり。余りが1の式を「$1=$」の形に直すと、$1=3-2\times1$。つまり $1=3-2$ だね。

7. 5

   この「2」も、1段上の式から $2=5-3\times1=5-3$ と書けるよね。これを上の式に代入してみよう。

8. 6

   代入すると $1=3-(5-3)=3\times2-5$。きれいに整理できた! これは $3\times2+5\times(-1)=1$ ということだよ。

9. ③ 解答
10. 7

    見比べると $x=2$、$y=-1$。これが $3x+5y=1$ の整数解の1つだよ。互除法を逆にたどれば、解が1組必ず作れる。これが使いどころだね。