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自然数解の個数を数える

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自然数解の個数を数える全3問

① 考えてみよう

$2x+3y=24$ を満たす「自然数の」解は何組あるかな? 自然数だから $x$ も $y$ も1以上だよ。まずこの式は1本の直線で表せるんだ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

① 考えてみよう
1
$2x+3y=24$ を満たす「自然数の」解は何組あるかな? 自然数だから $x$ も $y$ も1以上だよ。まずこの式は1本の直線で表せるんだ。
2
$x$ も $y$ も両方1以上(自然数)になる解は、いったい何組あると思う? 直線をたよりに数えてみよう。
② 考え方
3
解は直線の上の格子点(マスの交点)。まず端を見ると $(0,8)$ と $(12,0)$ が乗っているね。でもどちらも片方が0だから、自然数解には入らないよ。
4
その内側で $x$ も $y$ も1以上になる格子点をさがすと… $(3,6)$ ・ $(6,4)$ ・ $(9,2)$ 。3つとも両方が自然数だね。
5
となりの解へは、 $x$ を3ふやすと $y$ は2へる。同じ歩はばで並ぶから、数えもれや重複なく「3個」とわかるよ。
③ 解答
6
自然数解は3個。不定方程式の個数は、直線の上の格子点を「範囲をしぼって」数えるだけ。図にすると端を入れるか迷わず数えられるのが使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

$2x + 3y = 24$ を変形すると $2x = 3(8 - y)$ ……①

$2$ と $3$ は互いに素なので、①より $x$ は $3$ の倍数である。

$k$ を整数として $x = 3k$ とおくと、①より $6k = 3(8 - y)$ なので $y = 8 - 2k$

$x$ 、 $y$ は自然数なので $x \geqq 1$ かつ $y \geqq 1$ である。

$x = 3k \geqq 1$ で $k$ は整数なので $k \geqq 1$ ……②

$y = 8 - 2k \geqq 1$ より $2k \leqq 7$ で、 $k$ は整数なので $k \leqq 3$ ……③

②、③を満たす整数 $k$ は $k = 1$ 、 $2$ 、 $3$ の3個である。

このとき $(x, y) = (3, 6)$ 、 $(6, 4)$ 、 $(9, 2)$

答え $3$ 組

減点されやすいポイント

自然数は $1$ 以上なので、 $x \geqq 1$ 、 $y \geqq 1$ の不等式から $k$ の範囲をしぼるのがポイントだよ。 $0$ も入れて $x \geqq 0$ 、 $y \geqq 0$ としてしまうと、 $k = 0$ の $(0, 8)$ と $k = 4$ の $(12, 0)$ まで数えて $5$ 組になっちゃう(片方だけ入れると $4$ 組)。最後に $(x, y)$ を並べて書いておくと、もれがないか自分でも確かめられるね。

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