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ド・モアブルで z⁹ を求める

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ド・モアブルで z⁹ を求める全3問
40°z
① 考えてみよう

z=cos⁡40∘+isin⁡40∘z = \cos 40^\circ + i\sin 40^\circ(単位円上、偏角 40∘40^\circ)。この z9z^9 を求めてみよう。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    z=cos⁡40∘+isin⁡40∘z = \cos 40^\circ + i\sin 40^\circ(単位円上、偏角 40∘40^\circ)。この z9z^9 を求めてみよう。

  3. 2

    zz を9回かけるのが z9z^9。偏角(角度)と絶対値(長さ)はそれぞれどう変わると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    ド・モアブルより z9=cos⁡(9×40∘)+isin⁡(9×40∘)z^9 = \cos(9 \times 40^\circ) + i\sin(9 \times 40^\circ)。偏角は 40∘×9=360∘40^\circ \times 9 = 360^\circ、絶対値は 19=11^9 = 1 だね。

  6. ③ 解答
  7. 4

    360° はちょうど一周。だから z9z^9 は (1, 0) に戻って、z9=1z^9 = 1!

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

z=cos⁡40∘+isin⁡40∘z = \cos 40^\circ + i\sin 40^\circ は、絶対値 11、偏角 40∘40^\circ の極形式で表されている。

ド・モアブルの定理より z9=cos⁡(9×40∘)+isin⁡(9×40∘)z^9 = \cos(9 \times 40^\circ) + i\sin(9 \times 40^\circ)

9×40∘=360∘9 \times 40^\circ = 360^\circ なので z9=cos⁡360∘+isin⁡360∘z^9 = \cos 360^\circ + i\sin 360^\circ

cos⁡360∘=1\cos 360^\circ = 1、sin⁡360∘=0\sin 360^\circ = 0 より z9=1z^9 = 1

答え z9=1z^9 = 1

減点されやすいポイント

ド・モアブルの定理は「cos⁡θ+isin⁡θ\cos\theta + i\sin\theta を nn 乗すると偏角が nn 倍になる」。答案では定理の名前を書いてから、偏角を 9×40∘9 \times 40^\circ と計算しよう。「絶対値が 11 だから何乗しても変わらない」と考えて z9=zz^9 = z とするのは定番のまちがいだよ。変わらないのは絶対値の 11 だけで、偏角は 40∘40^\circ から 360∘360^\circ まで回るから、z9z^9 は zz とは別の点 11 になるね。

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