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横線 y=k で実数解の個数を数える

① 考えてみよう

三次関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフだよ。ひと山ひと谷の、うねった形をしているね。このグラフを使って、 $x^3 - 3x = k$ の実数解が何個あるかを目で数えてみよう。

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① 考えてみよう
1
三次関数 $y = x^3 - 3x$ のグラフだよ。ひと山ひと谷の、うねった形をしているね。このグラフを使って、 $x^3 - 3x = k$ の実数解が何個あるかを目で数えてみよう。
2
$k$ (横線の高さ)を変えると、曲線と交わる回数=実数解の個数も変わりそうだね。何個から何個まで変わって、どこが境目になると思う?
② 考え方
3
まず山と谷の高さを見ておこう。左の山(極大)のてっぺんは高さ2、右の谷(極小)の底は高さ $-2$ 。この $-2$ と 2 が、あとで効いてくるよ。
4
高さ $k=0$ の横線(いまは $x$ 軸)を引くと、曲線と3か所で交わる。交点の $x$ がそのまま解だから、 $x^3 - 3x = 0$ の実数解は3個だね。
5
横線を $k=1$ まで上げてみよう。まだ山(2)と谷( $-2$ )の間にあるね。だから交点は3つのまま、実数解は3個だよ。
6
さらに上げて $k=2$ 、ちょうど山のてっぺんの高さにすると、横線が山に接する。交点が2個に減ったね(接した点は2つが重なった重解だよ)。
7
山より高い $k=3$ にすると、交わるのは右側の1か所だけ。実数解は1個に減ったよ。山を飛びこえると交点がぐっと減るんだね。
③ 解答
8
谷 $-2$ と山 2 の間なら3個、外なら1個、ちょうど $\pm2$ で2個。横線 $y=k$ の上下で解の個数が読める=定数分離の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

方程式 $x^3 - 3x = k$ の異なる実数解の個数は、曲線 $y = x^3 - 3x$ と横線 $y = k$ の共有点の個数に等しい。

$x^3 - 3x - 2 = (x + 1)^2(x - 2)$ なので、横線 $y = 2$ は曲線と $x = -1$ (重解)と $x = 2$ で共有点をもつ。 $x = -1$ で曲線に接する。また $x < 2$ では $(x + 1)^2(x - 2) \leqq 0$ 、すなわち $x^3 - 3x \leqq 2$ なので、 $x = -1$ の近くで曲線は $y = 2$ より下にあり、点 $(-1, 2)$ が山(極大)のてっぺんである。

$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)$ なので、横線 $y = -2$ は曲線と $x = 1$ (重解)と $x = -2$ で共有点をもつ。 $x = 1$ で曲線に接する。また $x > -2$ では $(x - 1)^2(x + 2) \geqq 0$ 、すなわち $x^3 - 3x \geqq -2$ なので、 $x = 1$ の近くで曲線は $y = -2$ より上にあり、点 $(1, -2)$ が谷(極小)の底である。

グラフより、横線 $y = k$ が谷の高さ $-2$ と山の高さ $2$ のあいだ( $-2 < k < 2$ )にあるとき、曲線と3点で交わる。

$k = 2$ または $k = -2$ のとき、共有点は接する点と交わる点の2個である。

$k > 2$ または $k < -2$ のとき、横線は山より上か谷より下にあり、共有点は1個である。

答え異なる実数解の個数は、 $-2 < k < 2$ のとき3個、 $k = \pm 2$ のとき2個、 $k < -2$ または $2 < k$ のとき1個

減点されやすいポイント

まず「実数解の個数 = 曲線と横線 $y = k$ の共有点の個数」と言いかえる一文を書こう。山と谷の高さ $2$ と $-2$ が境目になるよ。3次方程式は、横線をどれだけ上げ下げしても曲線と少なくとも1回は交わるから、「外は0個」にはならないね。たとえば $k = 3$ でも、右側で1回交わるよ。

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