相関係数は外れ値に弱い(&相関≠因果)

図より、はじめの8点は $(1, 1)$、$(2, 2)$、…、$(8, 8)$ で、すべて直線 $y = x$ 上にあるので、相関係数は $r = 1$ である。

図より、外れ値に動かしたあとの8点は $(1, 1)$、$(2, 2)$、…、$(7, 7)$ と $(8, 1)$ である。

$x$ の平均は $\frac{1 + 2 + \cdots + 8}{8} = 4.5$、$y$ の平均は $\frac{1 + 2 + \cdots + 7 + 1}{8} = 3.625$

偏差の積の和は、($x$ と $y$ の積の和)$- 8 \times$($x$ の平均)$\times$($y$ の平均)で求められるので

$(1 \times 1 + 2 \times 2 + \cdots + 7 \times 7 + 8 \times 1) - 8 \times 4.5 \times 3.625 = 148 - 130.5 = 17.5$

同様に、$x$ の偏差の2乗の和は $(1^2 + 2^2 + \cdots + 8^2) - 8 \times 4.5^2 = 204 - 162 = 42$

$y$ の偏差の2乗の和は $(1^2 + 2^2 + \cdots + 7^2 + 1^2) - 8 \times 3.625^2 = 141 - 105.125 = 35.875$

相関係数の定義より、相関係数は共分散を $x$ と $y$ の標準偏差の積でわったもので、どれも個数 $8$ でわる量なので、和のままで計算できる。

$r = \frac{17.5}{\sqrt{42 \times 35.875}} \fallingdotseq 0.45$

$r$ は正のままなので正の相関は残るが、$1$ から $0.45$ くらいまで大きく下がる。

答え $r$ は $0.45$ くらいまで下がる。相関係数は外れ値1つで大きく変わる