連続3整数の積が3の倍数

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   「連続する3つの整数のかけ算は、いつも3の倍数」。本当かな? 3でわった余りの色分けでたしかめよう。0から11まで並べるよ。

3. 2

   3でわった余りは 0・1・2 の3種類。連続する3つを取ると、この3つの余りはどんなふうに並ぶと思う?

4. ② 考え方
5. 3

   まず3の倍数(余り0)のなかまに色をつけるよ。0・3・6・9…と、3つおきにきれいに並んでいるね。

6. 4

   残りも色分け。余り1のなかま(1・4・7・10)、余り2のなかま(2・5・8・11)。どの数も、3つの色のどれかになるよ。

7. 5

   ここで連続する3つ、たとえば 3・4・5 を見て。3つの色が1つずつそろって、3の倍数の色がちょうど1つ入っているね。

8. 6

   どこから3つとっても同じ。7・8・9 でも、3の倍数の9が1つ入る。連続する3つには必ず3の倍数が1個ふくまれるんだ。

9. ③ 解答
10. 7

    理由は余りで分けるとわかるよ。$n$ が余り0なら $n$ 自身、余り1なら $n+2$、余り2なら $n+1$ が3の倍数。だから積 $n(n+1)(n+2)$ は必ず3の倍数。余りの分類で証明できたね。