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「連続する3つの整数のかけ算は、いつも3の倍数」。本当かな? 3でわった余りの色分けでたしかめよう。0から11まで並べるよ。
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「連続する3つの整数のかけ算は、いつも3の倍数」。本当かな? 3でわった余りの色分けでたしかめよう。0から11まで並べるよ。
3でわった余りは 0・1・2 の3種類。連続する3つを取ると、この3つの余りはどんなふうに並ぶと思う?
まず3の倍数(余り0)のなかまに色をつけるよ。0・3・6・9…と、3つおきにきれいに並んでいるね。
残りも色分け。余り1のなかま(1・4・7・10)、余り2のなかま(2・5・8・11)。どの数も、3つの色のどれかになるよ。
ここで連続する3つ、たとえば 3・4・5 を見て。3つの色が1つずつそろって、3の倍数の色がちょうど1つ入っているね。
どこから3つとっても同じ。7・8・9 でも、3の倍数の9が1つ入る。連続する3つには必ず3の倍数が1個ふくまれるんだ。
理由は余りで分けるとわかるよ。 が余り0なら 自身、余り1なら 、余り2なら が3の倍数。だから積 は必ず3の倍数。余りの分類で証明できたね。
解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。
を整数とし、連続する3つの整数を 、、 とする。
整数 を3でわった余りは 、、 のどれか1つなので、次の3つの場合に、もれなく重なりなく分けられる。
(i) 余りが のとき、 は3の倍数である。
(ii) 余りが のとき、( は整数)と表せる。 で、 は整数なので、 は3の倍数である。
(iii) 余りが のとき、( は整数)と表せる。 で、 は整数なので、 は3の倍数である。
(i)、(ii)、(iii) のどの場合も、、、 のうち1つは3の倍数である。
3の倍数を1つでもかけた積は3の倍数なので、 は3の倍数である。
したがって、連続する3つの整数の積は、いつも3の倍数である。
減点されやすいポイント
のように例をいくつか試すだけでは「いつも」の証明にならないので、3でわった余りで場合分けしよう。場合分けでは「余りは 、、 のどれか」と書いて、もれがないことを示すのが大事だよ。 と置いたら「 は整数」も忘れずに書いてね。合同式( を法として合同)を使って「 のとき 」と書いてもいいよ。