母平均を区間で推定する(信頼区間)

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1. ① 考えてみよう
2. 1

   ある工場の飲料は、1本の内容量にばらつきがあるよ。母標準偏差は20mLとわかってる。無作為に100本調べたら平均は302mLだった。本当の平均(母平均)はどのへんかな?

3. 2

   標本平均は302mL。でも本当の平均がちょうど302ぴったりとは限らないね。「だいたいこの幅の中」と、どれくらいの広さで言えるかな?

4. ② 考え方
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   標本平均は母平均ぴったりにはならず、母平均を中心に山(正規分布)に散らばるんだ。調べる本数が多いほど平均はぶれにくいから、散らばり=標準誤差は $SE=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{20}{\sqrt{100}}=2$mL と $\sqrt{n}$ で割る形になるよ。

6. 4

   本編で見たね。山の中央 $\pm1\sigma$(むらさきの帯)には、いつも約68%が入る。いまは $1\sigma=SE=2$mL ぶんの幅だね。

7. 5

   もう少し確実に「95%」にしたいなら、少し広げて $\pm1.96\sigma$。この幅の中に、標本平均の95%が入るんだ。68%より少しだけ広いね。

8. 6

   $\sigma$ のかわりに $SE$ を使うと、95%ぶんの幅は $1.96\times SE=1.96\times2=3.92≈3.9$mL。これを標本平均302の左右にとると、下の区間ができるよ。

9. ③ 解答
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    だから母平均の95%信頼区間は $302\pm3.9$、つまり約298.1mL〜305.9mL。この区間が母平均をとらえている、と95%の自信で言えるんだ。

11. 8

    見つけるコツ: 標本平均を中心に $\pm1.96\times\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ だけ広げるだけ。調べる本数 $n$ が増えるほど $SE$ が小さくなり、区間がきゅっと狭まって精度が上がるよ。