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円が切り取る弦の長さ

📖 言葉で読む:点と直線の距離 →
円が切り取る弦の長さ全2問
弦
① 考えてみよう

円と、それを切る直線があるね。切り取られた弦の長さを求めよう。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    円と、それを切る直線があるね。切り取られた弦の長さを求めよう。

  3. 2

    弦の長さは、半径 rr と「中心からの距離」dd だけで決まりそうだよ。rr と dd を使うと、どんな式になると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    中心 O から弦へ垂線を下ろすと、足 M は弦のちょうど真ん中。O から両端までは同じ半径=二等辺三角形だから、垂線が底辺を二等分するんだ。

  6. 4

    O・M・端点で直角三角形ができた。斜辺は半径 r、横は中心からの距離 d。

  7. ③ 解答
  8. 5

    三平方より半分の弦は r2−d2\sqrt{r^2-d^2}。だから弦の長さは 2r2−d22\sqrt{r^2-d^2} だ!

    弦=2r2−d2\text{弦} = 2\sqrt{r^2 - d^2}
答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

円の中心を OO、半径を rr とし、直線と円の2つの交点を PP、QQ とする。中心 OO から直線までの距離を dd(0<d<r0 < d < r)とする(d=0d = 0 のときは弦が直径で PQ=2rPQ = 2r となり、下の式も成り立つ)。

OO から直線に垂線をひき、垂線の足を MM とすると OM=dOM = d

OP=OQ=rOP = OQ = r なので △OPQ\triangle OPQ は二等辺三角形であり、頂点 OO から底辺 PQPQ への垂線は底辺を二等分する。よって MM は弦 PQPQ の中点で、PQ=2PMPQ = 2PM

△OPM\triangle OPM は ∠OMP=90∘\angle OMP = 90^\circ の直角三角形なので、三平方の定理より PM2=OP2−OM2=r2−d2PM^2 = OP^2 - OM^2 = r^2 - d^2

PM>0PM > 0 より PM=r2−d2PM = \sqrt{r^2 - d^2}

よって PQ=2PM=2r2−d2PQ = 2PM = 2\sqrt{r^2 - d^2}

答え 2r2−d22\sqrt{r^2 - d^2}

減点されやすいポイント

垂線の足 MM が弦の中点になる理由(二等辺三角形の頂点からの垂線)を書いてから、三平方に進もう。三平方で出るのは弦の半分なので、r2−d2\sqrt{r^2 - d^2} で止めずに2倍するのを忘れないでね。2(r−d)2(r - d) はたとえば r=5r = 5、d=3d = 3 で 44 になるけれど、正しくは 225−9=82\sqrt{25 - 9} = 8 だよ。dd が座標で決まる問題では、点と直線の距離の公式で dd を先に出しておこう。

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