二項定理とパスカルの三角形

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $(a+b)^3$ を展開すると $a^3+\Box a^2 b+\Box ab^2+b^3$ の形になるよ。両はしの係数は1だね。でも真ん中の?の数、まじめに3回かけ算しないと出せないかな?

3. 2

   実は係数は、かけ算しなくても「ある三角形」を作るだけで分かるんだ。1から始めて足し算で下に伸ばしていく、パスカルの三角形だよ。

4. ② 考え方
5. 3

   てっぺんは1。次の段は両はしが1。それぞれの段の両はしはいつも1だよ。まず3段目まで並べてみよう。

6. 4

   中の数は「すぐ上の左右2つの和」で決まる。3段目の真ん中は、上の $1+1=2$ だね。同じ色の2つを足すと、その下の数になるよ。

7. 5

   同じやり方で4段目。両はしは1、中は $1+2=3$ と $2+1=3$。これで $1\ 3\ 3\ 1$ ができたね。?の正体は両方とも3だったんだ。

8. ③ 解答
9. 6

   この4段目 $1\ 3\ 3\ 1$ が、そのまま係数になる。だから $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$。三角形が各単項式の真上にのっているのが見えるね。

10. 7

    見つけるコツ: $(a+b)^n$ の係数は、パスカルの三角形の $n+1$ 段目(てっぺんが1段目)=$_nC_k$。「$n$ 個の $(a+b)$ から $b$ を $k$ 個選ぶ場合の数」だから組合せそのもの。三角形1つで係数が読めるよ。