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鈍角120°の三角比を求める

120°1
① 考えてみよう

鈍角120°の三角比を求めよう。直角三角形は90°まで。でも単位円なら、円周上の点 PP の座標で読めるね。

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    鈍角120°の三角比を求めよう。直角三角形は90°まで。でも単位円なら、円周上の点 PP の座標で読めるね。

  3. 2

    120° は 180° からどれだけ戻った向きかな?PP は左上にあるね。sin⁡\sin(縦)と cos⁡\cos(横)、符号はどちらが変わりそう?

  4. ② 考え方
  5. 3

    120° は 180°−60°。PP は左上にあるね。xx 軸の負の向きと OPOP の間の角(基準の角)は、ちょうど60°だよ。

  6. 4

    PP から xx 軸へ垂線を下ろそう。縦の高さ(sin⁡\sin)は、60°のときとそっくり同じ。だから sin⁡120∘=sin⁡60∘=3/2\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \sqrt{3}/2 だ。

  7. 5

    横の位置(cos⁡\cos)は左側だから、符号がマイナスになる。cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−1/2\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -1/2 だよ。

  8. ③ 解答
  9. 6

    答えは sin⁡120∘=3/2\sin 120^\circ = \sqrt{3}/2(正)、cos⁡120∘=−1/2\cos 120^\circ = -1/2(負)。鈍角では sin⁡\sin は正のまま、cos⁡\cos は負。基準の角(180°との差)で値を出して符号をつける、これが単位円の使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

単位円の周上で、xx 軸の正の向きから 120∘120^\circ 回転した位置にある点を PP とすると、PP の座標は (cos⁡120∘,sin⁡120∘)(\cos 120^\circ, \sin 120^\circ) である。

PP から xx 軸に垂線 PHPH を下ろすと、△POH\triangle POH は ∠PHO=90∘\angle PHO = 90^\circ の直角三角形で、∠POH=180∘−120∘=60∘\angle POH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ、OP=1OP = 1 なので

OH=cos⁡60∘=12OH = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}、PH=sin⁡60∘=32PH = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}

PP は yy 軸より左、xx 軸より上にあるので、PP の座標は (−12,32)\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

答え sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}、cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}

減点されやすいポイント

鈍角では sin⁡\sin は正のまま、cos⁡\cos だけが負になる。60∘60^\circ の値をそのまま使って cos⁡120∘=12\cos 120^\circ = \frac{1}{2} としたり、鈍角だからと両方にマイナスを付けたりするのが定番のまちがい。答案では「PP の座標が (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta)」と、どこから値を読んだかを書いておこう。

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