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置きかえ型の最大最小(t=sinθ+cosθ)

📖 言葉で読む:三角関数の合成 →
置きかえ型の最大最小(t=sinθ+cosθ)全3問
① 考えてみよう

y=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+cos⁡θy = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta の最大と最小を求めたいよ。掛け算と足し算がまざってて、このままだと手ごわいね。どうしよう?

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  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    y=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+cos⁡θy = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta の最大と最小を求めたいよ。掛け算と足し算がまざってて、このままだと手ごわいね。どうしよう?

  3. 2

    掛け算と足し算がまざった式も、1つのカタマリに「置きかえ」れば見なれた形になるよ。最大値と最小値はどうなると思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    コツは置きかえ。t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta とおくよ。合成で習ったね、これは 2sin⁡(θ+45∘)\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)=1本の波(赤)になるんだ。まずこの波を見よう。

  6. 4

    波の高さ(振幅)は 2\sqrt{2}。だから tt が動けるのは −2-\sqrt{2} から 2\sqrt{2} まで。山が 2\sqrt{2}、谷が −2-\sqrt{2} だね。tt には範囲があるのがポイントだよ。

  7. 5

    次に掛け算の部分。t2=(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θt^2 = (\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta だから、sin⁡θcos⁡θ=(t2−1)/2\sin\theta\cos\theta = (t^2-1)/2。なんと掛け算も tt だけで書けたよ。

  8. 6

    代入すると y=(t2−1)/2+t=12t2+t−12y = (t^2-1)/2 + t = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}。θ\theta が消えて、tt だけの二次関数=放物線になった!横軸を tt に置きかえて見てみよう。

  9. ③ 解答
  10. 7

    あとは区間 −2≤t≤2-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}(帯の中)での二次関数の最大最小だ。二次関数は頂点と区間の端をくらべるんだったね。頂点は t=−1t=-1、ここが谷=最小で −1-1 だよ。

  11. 8

    最大は区間の端をくらべる。右端 t=2t=\sqrt{2}(θ=45∘\theta=45^\circ で sin⁡θ=cos⁡θ\sin\theta=\cos\theta のとき)がいちばん高くて、y=12+2y=\frac{1}{2}+\sqrt{2}。左端 t=−2t=-\sqrt{2} より大きいね。

  12. 9

    むずかしい三角の式も、t=sin⁡θ+cos⁡θt=\sin\theta+\cos\theta と置くと二次関数に化ける。値域(tt の範囲)を出して区間の最大最小に持ちこむ、これが置きかえの使いどころだよ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

θ\theta の範囲の指定が無いので、最大・最小となる θ\theta の値は 0∘≦θ<360∘0^\circ \leqq \theta < 360^\circ で示す。

t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta とおく。

12+12=2\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}、cos⁡45∘=sin⁡45∘=12\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} なので、三角関数の合成より t=2sin⁡(θ+45∘)t = \sqrt{2}\sin(\theta + 45^\circ) で、−1≦sin⁡(θ+45∘)≦1-1 \leqq \sin(\theta + 45^\circ) \leqq 1 なので −2≦t≦2-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} ……①

t2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θt^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta より、sin⁡θcos⁡θ=t2−12\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}

よって y=t2−12+t=12t2+t−12=12(t2+2t+1)−12−12=12(t+1)2−1y = \frac{t^2 - 1}{2} + t = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t + 1) - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t + 1)^2 - 1

①の範囲で考える。軸 t=−1t = -1 は①の範囲に入るので、t=−1t = -1 のとき最小値 −1-1 をとる。

t=2t = \sqrt{2} のとき y=12+2y = \frac{1}{2} + \sqrt{2}、t=−2t = -\sqrt{2} のとき y=12−2y = \frac{1}{2} - \sqrt{2} で、軸から遠い t=2t = \sqrt{2} のとき最大値 12+2\frac{1}{2} + \sqrt{2} をとる。

45∘≦θ+45∘<405∘45^\circ \leqq \theta + 45^\circ < 405^\circ で考えると、t=2t = \sqrt{2} となるのは sin⁡(θ+45∘)=1\sin(\theta + 45^\circ) = 1 より θ=45∘\theta = 45^\circ のとき。

t=−1t = -1 となるのは sin⁡(θ+45∘)=−12\sin(\theta + 45^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} より θ+45∘=225∘\theta + 45^\circ = 225^\circ、315∘315^\circ、すなわち θ=180∘\theta = 180^\circ、270∘270^\circ のとき。

答え 最大値 12+2\frac{1}{2} + \sqrt{2}(θ=45∘\theta = 45^\circ)、最小値 −1-1(θ=180∘\theta = 180^\circ、270∘270^\circ)

減点されやすいポイント

置きかえたら、まず tt の範囲①を書くのが最大のポイントだよ。範囲を落とすと減点されるし、端をくらべる手がかりもなくなるんだ。tt の範囲 ±2\pm\sqrt{2} をそのまま yy の最大・最小と答えるのは、yy を tt の式に直す前で止めたまちがいだね。区間の両端だけをくらべて最小を 12−2\frac{1}{2} - \sqrt{2}(≒−0.91\fallingdotseq -0.91)とすると、頂点 t=−1t = -1 での −1-1 を見落としてしまうよ。

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