Σを部分分数で求める(望遠鏡和)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\frac1{3\cdot4}+\frac1{4\cdot5}$ を計算したいよ。ふつうに通分すると分母が大きくなって大変。何かうまい手はないかな?

3. 2

   コツは、1つの分数を「引き算の形」に分けること。たとえば $\frac1{2\cdot3}$ は $\frac12-\frac13$ に直せる。全部この形にすると、和はいくつになると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   どの項も $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ に分けられる(右を通分すると元に戻るのを確かめてね)。4つの項が、それぞれ2枚の札に割れたよ。

6. 4

   横に並べると、$-\frac12$ の隣に $+\frac12$、$-\frac13$ の隣に $+\frac13$… 同じ色どうしが足すと0、つまり打ち消し合うんだ。これが望遠鏡みたいに縮む和だよ。

7. 5

   打ち消し合う札を消すと、いちばん最初の $+1$ と、いちばん最後の $-\frac15$ だけが生き残る。途中はきれいに全部消えたね。

8. ③ 解答
9. 6

   だから和は $1-\frac15=\frac45$。通分しなくても、引き算の形にして打ち消すだけで求まったね。

10. 7

    見つけるコツ: 分母が「となりどうしの積」なら $\frac1k-\frac1{k+1}$ に分けてみる。途中が打ち消えて両端だけ残るから、$n$ 個でも和は $1-\frac1{n+1}=\frac{n}{n+1}$ とすぐ出せるよ。