接線の方程式を求める

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   曲線 $y = x^2$ だよ。この曲線に、点 $T(1, 1)$ でそっと1点で触れる直線=接線を求めたいんだ。接線の式を出すのが今日の目標。

3. 2

   接線の傾きさえわかれば、$T$ を通る直線の式は書ける。でも点が $T$ の1つだけだと傾きの計算ができないね。接線の式はどうなると思う?

4. ② 考え方
5. 3

   そこで、もう1点 $P$ を曲線の上にとって2点を結ぶ(割線)。いまは $x_2=2$、つまり $P(2, 4)$。傾きは $(4-1) \div (2-1)=3$ だね。

6. 4

   じつは割線の傾きは $x_2+1$ と書ける。$(x_2^2-1) \div (x_2-1)$ を約分すると $x_2+1$ だからだよ。だから $P$ を $T$ に近づけるほど傾きは2に近づくはず。

7. 5

   $P$ を $x_2=1.5$ までずらすと、傾きは 2.5。直線が曲線にだんだん沿ってきたね。

8. 6

   さらに $x_2=1.2$ まで近づけると傾きは 2.2。あと少しで $T$ にくっつきそう。

9. 7

   ぴったり重ねた!直線は $T$ で曲線にそっと触れる=これが接線。傾きはちょうど 2。微分 $f'(x)=2x$ からも $f'(1)=2$ で一致するね。

10. ③ 解答
11. 8

    あとは式にするだけ。接点 $T(1, 1)$ を通り傾き2だから $y = 2(x-1)+1$、整理して $y = 2x-1$。接点と微分係数で接線が決まる、これが使いどころだよ。