⏳ 読み込み中… この表示が消えないときは、ページを再読み込みしてください

← マップ

はさみうちで sinθ/θ → 1

はさみうちで sinθ/θ → 1全2問
θAP1
① 考えてみよう

半径1の単位円で、中心の角を θ\theta とするよ。θ\theta をどんどん小さく(0 に近づけて)いくとき、sin⁡θθ\dfrac{\sin\theta}{\theta} はどんな値に近づくと思う?

テキストで読む

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    半径1の単位円で、中心の角を θ\theta とするよ。θ\theta をどんどん小さく(0 に近づけて)いくとき、sin⁡θθ\dfrac{\sin\theta}{\theta} はどんな値に近づくと思う?

  3. 2

    θ\theta が小さいと sin⁡θ\sin\theta も θ\theta もどちらも 0 に近づくね。でも「その比」は決まった値に落ち着くみたい。sin⁡θθ\dfrac{\sin\theta}{\theta} の行き先はどれ?

  4. ② 考え方
  5. 3

    3つの図形の面積をくらべるよ。まず円の中の三角形 OAPOAP。底辺 OA=1OA=1、高さは PP の高さ =sin⁡θ=\sin\theta。だから面積は 12⋅1⋅sin⁡θ=12sin⁡θ\frac12\cdot1\cdot\sin\theta=\frac12\sin\theta だね。

  6. 4

    次に、弦 APAP を弧まで広げた扇形 OAPOAP。角は弧度法(半径1の弧の長さ)で測るよ。扇形は円全体 2π2\pi の θ2π\frac{\theta}{2\pi} ぶんだから面積 π⋅θ2π=12θ\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac12\theta。弧が弦よりふくらむぶん、三角形より少し大きいね。

  7. 5

    いちばん外に、AA での接線までの三角形 OATOAT。底辺 OA=1OA=1、高さは AT=tan⁡θAT=\tan\theta で、面積は 12tan⁡θ\frac12\tan\theta。扇形をすっぽり含むから、これが最大だよ。

  8. 6

    入れ子だから面積は 12sin⁡θ<12θ<12tan⁡θ\frac12\sin\theta<\frac12\theta<\frac12\tan\theta、つまり sin⁡θ<θ<tan⁡θ\sin\theta<\theta<\tan\theta。各辺を sin⁡θ\sin\theta で割ると 1<θsin⁡θ<1cos⁡θ1<\dfrac{\theta}{\sin\theta}<\dfrac{1}{\cos\theta} だね。

  9. ③ 解答
  10. 7

    逆数をとると不等号の向きが変わって cos⁡θ<sin⁡θθ<1\cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1。θ→0\theta\to0 では cos⁡θ→1\cos\theta\to1。両側から 1 に挟まれるから、sin⁡θθ\dfrac{\sin\theta}{\theta} も 1 に近づく!

  11. 8

    答えは lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1。直接わからない極限も、大小がわかる式ではさんで追い込む=はさみうち。三角関数の微分は、この1つの極限から始まるんだ。

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2} とする。単位円の中心を OO、A(1,0)A(1, 0)、角 θ\theta の円周上の点を PP とし、AA における接線と直線 OPOP の交点を TT とする。

△OAP\triangle OAP は底辺 OA=1OA = 1、高さ sin⁡θ\sin\theta なので面積は 12sin⁡θ\frac{1}{2}\sin\theta

扇形 OAPOAP は半径 11、中心角 θ\theta(弧度法)なので面積は 12θ\frac{1}{2}\theta

AA における接線は半径 OAOA に垂直なので ∠OAT=90∘\angle OAT = 90^\circ で、AT=OAtan⁡θ=tan⁡θAT = OA\tan\theta = \tan\theta である。△OAT\triangle OAT は底辺 OA=1OA = 1、高さ AT=tan⁡θAT = \tan\theta なので面積は 12tan⁡θ\frac{1}{2}\tan\theta

△OAP\triangle OAP は扇形 OAPOAP に含まれ、扇形 OAPOAP は △OAT\triangle OAT に含まれるので、12sin⁡θ<12θ<12tan⁡θ\frac{1}{2}\sin\theta < \frac{1}{2}\theta < \frac{1}{2}\tan\theta、すなわち sin⁡θ<θ<tan⁡θ\sin\theta < \theta < \tan\theta

sin⁡θ>0\sin\theta > 0 なので各辺を sin⁡θ\sin\theta でわると 1<θsin⁡θ<1cos⁡θ1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta}

各辺は正なので、逆数をとると不等号の向きが変わり cos⁡θ<sin⁡θθ<1\cos\theta < \frac{\sin\theta}{\theta} < 1

θ→+0\theta \to +0 のとき cos⁡θ→1\cos\theta \to 1 なので、はさみうちの原理より lim⁡θ→+0sin⁡θθ=1\displaystyle\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1

θ<0\theta < 0 のときは、sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta より sin⁡θθ=sin⁡(−θ)−θ\frac{\sin\theta}{\theta} = \frac{\sin(-\theta)}{-\theta} で −θ>0-\theta > 0 なので、θ→−0\theta \to -0 のときも 11 に近づく。

答え lim⁡θ→0sin⁡θθ=1\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1

減点されやすいポイント

はさみうちでは、「両側の式が同じ値 11 に近づく」ことを確かめてから結論を書こう。分子の sin⁡θ\sin\theta が 00 に近づくからといって比も 00 とするのは定番のまちがいで、たとえば θ=0.1\theta = 0.1 でも sin⁡0.10.1≒0.998\frac{\sin 0.1}{0.1} \fallingdotseq 0.998 と 11 に近いね。扇形の面積 12θ\frac{1}{2}\theta は θ\theta を弧度法で測ったときの式なので、度数法のまま使うと行き先が 11 にならないよ。

友だちに教えるLINEで送るXに投稿

関連するコンテンツ

もとになる考え方(レッスン)

関連する使いどころ