はさみうちで sinθ/θ → 1

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   半径1の単位円で、中心の角を $\theta$ とするよ。$\theta$ をどんどん小さく(0 に近づけて)いくとき、$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ はどんな値に近づくと思う?

3. 2

   $\theta$ が小さいと $\sin\theta$ も $\theta$ もどちらも 0 に近づくね。でも「その比」は決まった値に落ち着くみたい。$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ の行き先はどれ?

4. ② 考え方
5. 3

   3つの図形の面積をくらべるよ。まず円の中の三角形 $OAP$。底辺 $OA=1$、高さは $P$ の高さ $=\sin\theta$。だから面積は $\frac12\cdot1\cdot\sin\theta=\frac12\sin\theta$ だね。

6. 4

   次に、弦 $AP$ を弧まで広げた扇形 $OAP$。角は弧度法(半径1の弧の長さ)で測るよ。扇形は円全体 $2\pi$ の $\frac{\theta}{2\pi}$ ぶんだから面積 $\pi\cdot\frac{\theta}{2\pi}=\frac12\theta$。弧が弦よりふくらむぶん、三角形より少し大きいね。

7. 5

   いちばん外に、$A$ での接線までの三角形 $OAT$。底辺 $OA=1$、高さは $AT=\tan\theta$ で、面積は $\frac12\tan\theta$。扇形をすっぽり含むから、これが最大だよ。

8. 6

   入れ子だから面積は $\frac12\sin\theta<\frac12\theta<\frac12\tan\theta$、つまり $\sin\theta<\theta<\tan\theta$。各辺を $\sin\theta$ で割ると $1<\dfrac{\theta}{\sin\theta}<\dfrac{1}{\cos\theta}$ だね。

9. ③ 解答
10. 7

    逆数をとると不等号の向きが変わって $\cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1$。$\theta\to0$ では $\cos\theta\to1$。両側から 1 に挟まれるから、$\dfrac{\sin\theta}{\theta}$ も 1 に近づく!

11. 8

    答えは $\displaystyle\lim_{\theta\to0}\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$。直接わからない極限も、大小がわかる式ではさんで追い込む=はさみうち。三角関数の微分は、この1つの極限から始まるんだ。