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1 の 6 乗根をすべて求める

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1 の 6 乗根をすべて求める全3問
① 考えてみよう

z6=1z^6 = 1 の解を全部さがそう。ド・モアブルで考えると、答えは単位円の上に並ぶよ。

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アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

  1. ① 考えてみよう
  2. 1

    z6=1z^6 = 1 の解を全部さがそう。ド・モアブルで考えると、答えは単位円の上に並ぶよ。

  3. 2

    解は6個、単位円の上に並ぶ。どんな間かくで、どんな形に並ぶと思う?

  4. ② 考え方
  5. 3

    いちばん分かりやすい解は z=1z = 1(偏角 0∘0^\circ)。ここを出発点にするね。

  6. 4

    絶対値は全部 1。6乗して偏角が6倍=360°の倍数になればいいから、偏角は 360°÷6 = 60° ずつ。これで6個の解が等間隔に並ぶよ。

  7. ③ 解答
  8. 5

    6個の解を順に結ぶと…ほら、単位円にぴったり入る正六角形になった!

答案の書き方(記述例)

解き方がわかったら、次は答案に書く番。テストの解答用紙には、こんなふうに書けば伝わるよ。

zz の極形式を z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta)(r>0r > 0、0∘≦θ<360∘0^\circ \leqq \theta < 360^\circ)とする。

ド・モアブルの定理より z6=r6(cos⁡6θ+isin⁡6θ)z^6 = r^6(\cos 6\theta + i\sin 6\theta)

1=1×(cos⁡0∘+isin⁡0∘)1 = 1 \times (\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ) なので、z6=1z^6 = 1 となるのは、絶対値どうしと偏角どうしを比べて r6=1r^6 = 1、6θ=360∘×k6\theta = 360^\circ \times k(kk は整数)のときである。

r>0r > 0 より r=1r = 1。また θ=60∘×k\theta = 60^\circ \times k で、0∘≦θ<360∘0^\circ \leqq \theta < 360^\circ より k=0,1,2,3,4,5k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

よって θ=0∘\theta = 0^\circ、60∘60^\circ、120∘120^\circ、180∘180^\circ、240∘240^\circ、300∘300^\circ で、解は

z=1z = 1、12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i、−12+32i-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i、−1-1、−12−32i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i、12−32i\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i

6個の解はどれも絶対値が 11 で、偏角が 60∘60^\circ ずつずれているので、単位円周上に等間隔に並ぶ。

答え 6個の解は単位円周上に 60∘60^\circ おきの等間隔で並び、順に結ぶと正六角形になる

減点されやすいポイント

偏角は「6θ=360∘×k6\theta = 360^\circ \times k」と 360∘360^\circ の倍数まで含めて書き、0∘≦θ<360∘0^\circ \leqq \theta < 360^\circ の範囲で kk を全部並べるのがポイントだよ。6θ=360∘6\theta = 360^\circ だけにすると θ=60∘\theta = 60^\circ の1個しか出ないね。120∘120^\circ おきにすると z3=1z^3 = 1 の解になってしまい、たとえば z=−1z = -1 は (−1)6=1(-1)^6 = 1 なのに入らないよ。30∘30^\circ おきだと θ=30∘\theta = 30^\circ で 6θ=180∘6\theta = 180^\circ になり、z6=−1z^6 = -1 で解にならないね。

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