領域で y/x の最大・最小

領域は3点 $A(1, 2)$、$B(4, 1)$、$C(3, 4)$ を頂点とする三角形の周と内部で、すべて $x > 0$ の部分にある。原点を $O$ とする。

$\frac{y}{x} = k$ とおくと、$x > 0$ なので $y = kx$ となる。よって $k$ は、$O$ と点 $(x, y)$ を結ぶ直線の傾きである。

したがって、直線 $y = kx$ が領域と共有点をもつような $k$ の範囲を調べればよい。

$O$ と各頂点を結ぶ直線の傾きは、$A$ が $\frac{2}{1} = 2$、$B$ が $\frac{1}{4}$、$C$ が $\frac{4}{3}$ で、$\frac{1}{4} < \frac{4}{3} < 2$ である。

三角形の周と内部の点では $\frac{y}{x}$ は3頂点の値の最小から最大のあいだにあり、$O$ を通る直線を、傾き $k$ を変えながら回すと、三角形の領域と共有点をもつのは直線 $OB$ と直線 $OA$ のあいだにあるとき、すなわち $\frac{1}{4} \leqq k \leqq 2$ のときである。

よって $k$ は、直線が頂点 $A$ を通るとき最大値 $2$、頂点 $B$ を通るとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

答え 最大値 $2$($x = 1$、$y = 2$ のとき)、最小値 $\frac{1}{4}$($x = 4$、$y = 1$ のとき)