漸化式を解く(特性方程式で等比型へ)

アニメを見なくても、このページの流れを最後まで文章で追えるよ。

1. ① 考えてみよう
2. 1

   漸化式「次=前の2倍たす1」だよ。初項1から作ると 1, 3, 7, 15。前のレッスンでやったね。今日はこの数列の「n番目の項」を一発で出す式(一般項)を見つけたいんだ。

3. 2

   この数列の n番目の項を、一発で出せる式は作れるかな? まずは、どこがやっかいなのか見ていこう。

4. ② 考え方
5. 3

   まず比をきちんと見てみよう。$3 \div 1=3$、$7 \div 3$≈2.3…とやっぱりばらばら。このままでは式にしにくいから、なんとか等比に変えたいね。

6. 4

   そこで魔法の一手。「次=前の2倍+1」の「次の項」と「前の項」を、同じ文字 $x$ に置きかえてみる。$x = 2x + 1$ を解くと $x = -1$。これが特性方程式だよ。

7. 5

   この $-1$ を使って、全部の項に1を足してみる($-1$を引くのと同じ)。1→2、3→4、7→8、15→16。新しい数列(お祝い色のぶん)ができたね。

8. 6

   新しい数列は 2, 4, 8, 16。となりとくらべると、$4 \div 2=2$、$8 \div 4=2$、$16 \div 8=2$。ぴったり2倍ずつ!ばらばらだったのが、きれいな等比数列になったね。

9. 7

   等比数列なら一発で書ける。初項2・公比2 だから、新しい数列の n番目は 2 を n回かけた「2のn乗」。たとえば4番目は $2 \times 2 \times 2 \times 2=16$ だね。

10. ③ 解答
11. 8

    新しい数列は「もとの項+1」だったから、1を引いてもどす。もとの数列の n番目は「2のn乗ひく1」。検算すると4番目は $16 - 1 = 15$。さいしょの棒の高さとぴったり!

12. 9

    そのままでは解けない漸化式も、特性方程式の解(ここは $-1$)だけずらすと等比数列に化ける。あとは等比の公式で一般項が出せる。これが使いどころだよ。