解の配置(区間に2解を持つ条件)

$f(x) = \frac{1}{4}(x - p)^2 - 1$ とおく。$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線で、軸は直線 $x = p$ である。

$f(x) = 0$ が $0 < x < 6$ に異なる2つの解をもつための条件は、次の (i)、(ii)、(iii) がすべて成り立つことである。

(i) 異なる2つの解をもつためには、判別式 $D > 0$ が必要

$f(x) = 0$ の両辺を $4$ 倍すると $x^2 - 2px + p^2 - 4 = 0$ なので、$\frac{D}{4} = p^2 - (p^2 - 4) = 4 > 0$ となり、(i) は $p$ の値によらず成り立つ。

(ii) 2つの解は軸の左右に1つずつあるので、両方が $0 < x < 6$ に入るには、軸が区間の内側にあることが必要で $0 < p < 6$ ……①

(iii) 2つの解が $0 < x < 6$ にあれば、$x = 0$ と $x = 6$ は2つの解の外側にあり、グラフは下に凸なので、そこでは $x$ 軸より上にある。よって $f(0) > 0$ かつ $f(6) > 0$ が必要

$f(0) = \frac{1}{4}p^2 - 1 > 0$ より $p^2 > 4$ なので $p < -2$、$2 < p$ ……②

$f(6) = \frac{1}{4}(6 - p)^2 - 1 > 0$ より $(6 - p)^2 > 4$ なので $6 - p < -2$、$2 < 6 - p$、すなわち $p < 4$、$8 < p$ ……③

逆に (i)、(ii)、(iii) がすべて成り立てば、軸が区間の内側にあり両端で $f$ が正なので、2つの解はどちらも $0 < x < 6$ に入る。

①、②、③の共通部分をとると $2 < p < 4$

答え $2 < p < 4$